2つの円 $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0$ と $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0$ が与えられている。 (1) この2つの円の交点と点 $(2, 2)$ を通る円の方程式を求めよ。 (2) この2つの円の交点を通る直線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0$ と $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0$ が与えられている。

(1) この2つの円の交点と点 $(2, 2)$ を通る円の方程式を求めよ。

(2) この2つの円の交点を通る直線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2つの円の交点を通る円の方程式は、実数 $k$ を用いて次のように表せる。

$x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + k(x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6) = 0$

この円が点 $(2, 2)$ を通るので、代入して $k$ の値を求める。

$(2)^2 + (2)^2 + 4(2) - 2(2) - 11 + k((2)^2 + (2)^2 - 2(2) - 6(2) + 6) = 0$

$4 + 4 + 8 - 4 - 11 + k(4 + 4 - 4 - 12 + 6) = 0$

$1 + k(-2) = 0$

$-2k = -1$

$k = \frac{1}{2}$

これを円の方程式に代入する。

$x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + \frac{1}{2}(x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6) = 0$

$2(x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + (x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6) = 0$

$2x^2 + 2y^2 + 8x - 4y - 22 + x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0$

$3x^2 + 3y^2 + 6x - 10y - 16 = 0$

よって、求める円の方程式は $3x^2 + 3y^2 + 6x - 10y - 16 = 0$ である。

(2) 2つの円の交点を通る直線の方程式は、$k = -1$ の場合である。

$x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + k(x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6) = 0$ に $k = -1$ を代入すると

$x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 - (x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6) = 0$

$x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 - x^2 - y^2 + 2x + 6y - 6 = 0$

$6x + 4y - 17 = 0$

よって、求める直線の方程式は $6x + 4y - 17 = 0$ である。

3. 最終的な答え

(1) $3x^2 + 3y^2 + 6x - 10y - 16 = 0$

(2) $6x + 4y - 17 = 0$