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平行四辺形ABCDの対角線の交点をOとし、ベクトルOA = ベクトルa, ベクトルOB = ベクトルbとするとき、ベクトルAC + ベクトルBDをベクトルa, ベクトルbを用いて表せ。

幾何学ベクトル平行四辺形ベクトルの加法ベクトルの分解
2025/6/22

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDの対角線の交点をOとし、ベクトルOA = ベクトルa, ベクトルOB = ベクトルbとするとき、ベクトルAC + ベクトルBDをベクトルa, ベクトルbを用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、ベクトルACとベクトルBDをそれぞれベクトルaとベクトルbを用いて表します。
ベクトルAC = ベクトルAO + ベクトルOC
平行四辺形の性質より、ベクトルOC = ベクトルOA = ベクトルaなので、
ベクトルAC = -ベクトルa + ベクトルa
ベクトルAC = 2ベクトルa
同様に、
ベクトルBD = ベクトルBO + ベクトルOD
平行四辺形の性質より、ベクトルOD = ベクトルOB = ベクトルbなので、
ベクトルBD = -ベクトルb + ベクトルb
ベクトルBD = 2ベクトルb
よって、
ベクトルAC + ベクトルBD = 2ベクトルa + 2ベクトルb

3. 最終的な答え

2ベクトルa + 2ベクトルb

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