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円に内接する四角形 $ABCD$ があり、$\angle{DQC} = 30^\circ$、$\angle{BPC} = 34^\circ$ である。$\angle{DAB} = \alpha$ を求めよ。

幾何学円四角形円周角の定理角度
2025/6/22

1. 問題の内容

円に内接する四角形 ABCDABCD があり、∠DQC=30∘\angle{DQC} = 30^\circ、∠BPC=34∘\angle{BPC} = 34^\circ である。∠DAB=α\angle{DAB} = \alpha を求めよ。

2. 解き方の手順

* 円周角の定理より、∠DCB=∠DAB=α\angle{DCB} = \angle{DAB} = \alpha
* △DQC\triangle{DQC} において、∠CDQ=180∘−∠DQC−∠DCQ=180∘−30∘−∠DCQ=150∘−∠DCQ\angle{CDQ} = 180^\circ - \angle{DQC} - \angle{DCQ} = 180^\circ - 30^\circ - \angle{DCQ} = 150^\circ - \angle{DCQ}
同様に、△BPC\triangle{BPC} において、∠CBP=180∘−∠BPC−∠BCP=180∘−34∘−∠BCP=146∘−∠BCP\angle{CBP} = 180^\circ - \angle{BPC} - \angle{BCP} = 180^\circ - 34^\circ - \angle{BCP} = 146^\circ - \angle{BCP}
* 四角形 ABCDABCD が円に内接しているので、∠ADC+∠ABC=180∘\angle{ADC} + \angle{ABC} = 180^\circ
∠ADC=∠ADQ+∠CDQ=∠ADQ+150∘−∠DCQ\angle{ADC} = \angle{ADQ} + \angle{CDQ} = \angle{ADQ} + 150^\circ - \angle{DCQ}
∠ABC=∠ABP+∠CBP=∠ABP+146∘−∠BCP\angle{ABC} = \angle{ABP} + \angle{CBP} = \angle{ABP} + 146^\circ - \angle{BCP}
よって、∠ADQ+150∘−∠DCQ+∠ABP+146∘−∠BCP=180∘\angle{ADQ} + 150^\circ - \angle{DCQ} + \angle{ABP} + 146^\circ - \angle{BCP} = 180^\circ
∠ADQ+∠ABP−∠DCQ−∠BCP=180∘−150∘−146∘=−116∘\angle{ADQ} + \angle{ABP} - \angle{DCQ} - \angle{BCP} = 180^\circ - 150^\circ - 146^\circ = -116^\circ
* ∠AQB=∠CPB=α\angle{AQB} = \angle{CPB} = \alpha
* ∠DQB=∠CDQ=30∘\angle{DQB} = \angle{CDQ} = 30^\circ
∠PBC=∠CDA=34∘\angle{PBC} = \angle{CDA} = 34^\circ
* 円周角の定理より、∠ADB=∠ACB\angle{ADB} = \angle{ACB}
* ∠DCQ+∠BCP=∠DCB=α\angle{DCQ} + \angle{BCP} = \angle{DCB} = \alpha
* ∠DAB+∠DCB=180∘\angle{DAB} + \angle{DCB} = 180^\circ
α+∠DCB=180∘\alpha + \angle{DCB} = 180^\circ
∠DCB=180∘−α\angle{DCB} = 180^\circ - \alpha
* △BPC\triangle{BPC} で ∠CBP=180−34−∠PCB=146−∠PCB\angle{CBP} = 180 - 34 - \angle{PCB} = 146 - \angle{PCB}.
△QDC\triangle{QDC} で ∠CDQ=180−30−∠QCD=150−∠QCD\angle{CDQ} = 180 - 30 - \angle{QCD} = 150 - \angle{QCD}.
* 円周角の定理から、∠CAD=∠CBD\angle{CAD} = \angle{CBD}.
同様に ∠BAC=∠BDC\angle{BAC} = \angle{BDC}.
* ∠AQB=30∘\angle{AQB} = 30^\circなので ∠ACB=30∘\angle{ACB} = 30^\circ
∠BPC=34∘\angle{BPC} = 34^\circなので ∠BAC=34∘\angle{BAC} = 34^\circ
したがって、α=∠BAC+∠CAD=34∘+30∘=64∘\alpha = \angle{BAC} + \angle{CAD} = 34^\circ + 30^\circ = 64^\circ

3. 最終的な答え

α=64∘\alpha = 64^\circ

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