$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\tan \frac{\alpha}{4} = \frac{1}{5}$ である。このとき、$\alpha$ と $\frac{\pi}{4}$ の大小を比較せよ。

1. 問題の内容

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\tan \frac{\alpha}{4} = \frac{1}{5}$ である。このとき、$\alpha$ と $\frac{\pi}{4}$ の大小を比較せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \frac{\alpha}{4} = \frac{1}{5}$ であることから、$\frac{\alpha}{4}$ の値がわかります。

次に、$\alpha$ を求めるために、$\frac{\alpha}{4}$ を4倍します。

そして、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ なので、$\alpha$ は正の値です。

$\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$ という公式を利用します。

$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{2\tan \frac{\alpha}{4}}{1-\tan^2 \frac{\alpha}{4}} = \frac{2\cdot \frac{1}{5}}{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2} = \frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{25}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{24} = \frac{5}{12}$

$\tan \alpha = \frac{2\tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{2\cdot \frac{5}{12}}{1-\left(\frac{5}{12}\right)^2} = \frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{25}{144}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{144}{119} = \frac{5 \cdot 24}{119} = \frac{120}{119}$

$\tan \frac{\pi}{4} = 1 = \frac{119}{119}$

ここで、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ において、$\tan x$ は単調増加なので、

$\tan \alpha = \frac{120}{119} > \frac{119}{119} = \tan \frac{\pi}{4}$

よって、$\alpha > \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\alpha > \frac{\pi}{4}$