三角形$ABC$において、$BC=a$, $CA=b$, $AB=\sqrt{10}$である。辺$AB$を$4:3$に内分する点を$D$, 辺$BC$を$1:2$に内分する点を$E$とする。2直線$AE$, $CD$の交点を$K$とする。 (1) $\vec{AK}$を$\vec{AB}$, $\vec{AC}$で表せ。 (2) 内積$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$を$a$, $b$の式で表せ。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

三角形$ABC$において、$BC=a$, $CA=b$, $AB=\sqrt{10}$である。辺$AB$を$4:3$に内分する点を$D$, 辺$BC$を$1:2$に内分する点を$E$とする。2直線$AE$, $CD$の交点を$K$とする。

(1) $\vec{AK}$を$\vec{AB}$, $\vec{AC}$で表せ。

(2) 内積$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$を$a$, $b$の式で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{AK}$を$\vec{AB}$, $\vec{AC}$で表す

まず、点$K$は直線$AE$上にあるので、$s$を実数として

$\vec{AK} = s\vec{AE}$

と表せる。ここで、$\vec{AE} = \vec{AC} + \vec{CE}$であり、$\vec{CE} = \frac{2}{3}\vec{CB} = \frac{2}{3}(\vec{AB} - \vec{AC})$であるから、

$\vec{AE} = \vec{AC} + \frac{2}{3}(\vec{AB} - \vec{AC}) = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$

したがって、

$\vec{AK} = s(\frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}) = \frac{2s}{3}\vec{AB} + \frac{s}{3}\vec{AC}$

次に、点$K$は直線$CD$上にあるので、$t$を実数として

$\vec{AK} = (1-t)\vec{AC} + t\vec{AD}$

と表せる。ここで、$\vec{AD} = \frac{4}{7}\vec{AB}$であるから、

$\vec{AK} = (1-t)\vec{AC} + \frac{4t}{7}\vec{AB} = \frac{4t}{7}\vec{AB} + (1-t)\vec{AC}$

$\vec{AB}$と$\vec{AC}$は一次独立であるから、係数を比較して、

$\frac{2s}{3} = \frac{4t}{7}$

$\frac{s}{3} = 1-t$

この連立方程式を解く。$\frac{2s}{3} = \frac{4t}{7} \implies s = \frac{6t}{7}$

$\frac{s}{3} = 1-t \implies s = 3-3t$

したがって、$\frac{6t}{7} = 3-3t \implies 6t = 21 - 21t \implies 27t = 21 \implies t = \frac{21}{27} = \frac{7}{9}$

$s = 3 - 3t = 3 - 3(\frac{7}{9}) = 3 - \frac{7}{3} = \frac{2}{3}$

よって、$\vec{AK} = \frac{2}{3}(\frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}) = \frac{4}{9}\vec{AB} + \frac{2}{9}\vec{AC}$

(2) 内積$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$を$a$, $b$の式で表す

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\vec{AB}\cdot\vec{AC}$が成り立つ。

$a^2 = 10 + b^2 - 2\vec{AB}\cdot\vec{AC}$

したがって、$\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \frac{10+b^2-a^2}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AK} = \frac{4}{9}\vec{AB} + \frac{2}{9}\vec{AC}$

(2) $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \frac{10+b^2-a^2}{2}$