線分ABの垂直二等分線$l$の方程式を、$ax + by + c = 0$ の形で求めよ。ただし、線分ABの座標が与えられていないため、ここでは線分ABの座標を仮定して問題を解く。

1. 問題の内容

線分ABの垂直二等分線$l$の方程式を、$ax + by + c = 0$ の形で求めよ。ただし、線分ABの座標が与えられていないため、ここでは線分ABの座標を仮定して問題を解く。

2. 解き方の手順

まず線分ABの座標をA($x_1, y_1$), B($x_2, y_2$)と仮定する。

(1) 線分ABの中点Mを求める。中点Mの座標は、

$M(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$

(2) 線分ABの傾きを求める。線分ABの傾き$m$は、

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

(3) 垂直二等分線$l$の傾きを求める。垂直二等分線$l$の傾き$m'$は、$m \cdot m' = -1$より、

$m' = -\frac{1}{m} = -\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$

(4) 中点Mを通り、傾きが$m'$の直線の方程式を求める。

$y - \frac{y_1 + y_2}{2} = -\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}(x - \frac{x_1 + x_2}{2})$

(5) 上記の方程式を整理して、$ax + by + c = 0$ の形にする。

$(y_2 - y_1)(y - \frac{y_1 + y_2}{2}) = -(x_2 - x_1)(x - \frac{x_1 + x_2}{2})$

$(y_2 - y_1)y - \frac{(y_2 - y_1)(y_1 + y_2)}{2} = -(x_2 - x_1)x + \frac{(x_2 - x_1)(x_1 + x_2)}{2}$

$(x_2 - x_1)x + (y_2 - y_1)y - \frac{(x_2^2 - x_1^2) + (y_2^2 - y_1^2)}{2} = 0$

$2(x_2 - x_1)x + 2(y_2 - y_1)y - (x_2^2 - x_1^2 + y_2^2 - y_1^2) = 0$

3. 最終的な答え

$2(x_2 - x_1)x + 2(y_2 - y_1)y - (x_2^2 - x_1^2 + y_2^2 - y_1^2) = 0$

あるいは

$(x_2 - x_1)x + (y_2 - y_1)y - \frac{x_2^2 - x_1^2 + y_2^2 - y_1^2}{2} = 0$