三角形ABCがあり、辺ABを1:2に内分する点をM、辺BCを3:2に内分する点をNとする。線分ANとCMの交点をOとし、直線BOと辺ACの交点をPとする。三角形AOPの面積が1のとき、三角形ABCの面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、辺ABを1:2に内分する点をM、辺BCを3:2に内分する点をNとする。線分ANとCMの交点をOとし、直線BOと辺ACの交点をPとする。三角形AOPの面積が1のとき、三角形ABCの面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理とメネラウスの定理、および面積比の知識を使って解くことができます。

ステップ1: チェバの定理の適用

三角形ABCに対して、点M, N, Pがそれぞれ辺AB, BC, CA上にあり、3直線AN, CM, BPが1点Oで交わっているので、チェバの定理が成り立ちます。

$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

問題文より、$AM:MB = 1:2$、$BN:NC = 3:2$ なので、

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = \frac{4}{3}$

したがって、$AP:PC = 3:4$ となります。

ステップ2: メネラウスの定理の適用

三角形ACPに対して、直線BOが辺AC, CP, PAとそれぞれ点P, O, Bで交わるので、メネラウスの定理が成り立ちます。ただし、今回は、線分BOが三角形ACPの外側の辺と交わる場合であることに注意してください。

$\frac{AO}{ON} \cdot \frac{NB}{BC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

問題文より、$BN:NC = 3:2$なので、$BC:BN=5:3$となり、$NB:BC = 3:5$

$\frac{AO}{ON} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{7} = 1$

この式の導出について補足します。

$\frac{AO}{ON} \cdot \frac{BC}{BN} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{AO}{ON} \cdot \frac{BN}{BC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{NB}{BC} = \frac{2}{5}$

$\frac{CP}{PA} = \frac{4}{3}$ではないことに注意！

$AP:AC=3:7$　より　$PC:AC=4:7$

よって$CP:AP = 4:3$

$\frac{AO}{ON} \cdot \frac{BC}{NB} \cdot \frac{BC}{BN} \cdot \frac{PC}{AP} = 1$

$\frac{AO}{ON} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{3} = 1$

よって、

$\frac{AO}{ON} = \frac{6}{20}=\frac{3}{10}$

$\frac{AO}{ON} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{3} = 1$

$\frac{AO}{ON} = \frac{3}{10}$

したがって、$AO:ON = 3:10$となります。

ステップ3: 面積比の計算

三角形AOPの面積が1なので、三角形AONの面積は $\frac{13}{3}$となります。

三角形CONの面積をxとすると、三角形AOCと三角形BOCの面積比はAM:MBより1:2

三角形AOCの面積は$\frac{3}{10}x$

よって三角形BOCの面積は$\frac{6}{10}x$

三角形BONは$\frac{3}{5}$なので$x$

よって$\frac{3}{10}x+1=\frac{3}{13}$

x=1

$\triangle AOP = 1$より

$\triangle AON= \frac{3}{13}$

$\triangle ACN=S\cdot \frac{2}{5}$

$\triangle ACN=\frac{20}{7}$

よってS=35/2=17.5

ステップ4:全体の面積

$\triangle AOP=1$より

$\triangle AOC= \frac{AO}{AN}\times S_{ANC}$

$\frac{AP}{AC}\triangle AOP$

最終的な答え

三角形ABCの面積は$\frac{3}{7}x$

三角形AOC面積=7

$S_{AOC}=\frac{AP}{AC}=\frac{3}{7}$

よって$S=\frac{AP}{AC}x$

$S = \frac{3}{7} \times \frac{7}{3}17.5$

3. 最終的な答え

$\frac{35}{2}$