(1) 0でない2つのベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2)$ と $\vec{b} = (a_2, -a_1)$ が垂直であることを示す。 (2) (1)を利用して、$\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 0でない2つのベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2)$ と $\vec{b} = (a_2, -a_1)$ が垂直であることを示す。

(2) (1)を利用して、$\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つのベクトルが垂直であることは、その内積が0であることと同値です。したがって、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ を示す必要があります。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (a_1, a_2) \cdot (a_2, -a_1) = a_1a_2 + a_2(-a_1) = a_1a_2 - a_1a_2 = 0$

よって、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は垂直です。

(2) (1)より、$\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ に垂直なベクトルは $\vec{b} = (1, -\sqrt{3})$ の形になります。単位ベクトルを求めるので、$\vec{b}$ の大きさを求めます。

$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

したがって、$\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ は

$\vec{e} = \pm \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \pm \frac{(1, -\sqrt{3})}{2} = \pm (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積が0であるため、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は垂直である。

(2) $\vec{e} = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}), (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$