与えられた3つのベクトルの等式が成り立つことを証明します。 (1) $|a + 3b|^2 = |a|^2 + 6a \cdot b + 9|b|^2$ (2) $(3a - 4b) \cdot (3a + 4b) = 9|a|^2 - 16|b|^2$ (3) $(p - a) \cdot (p + 2b) = |p|^2 + (2b - a) \cdot p - 2a \cdot b$

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

与えられた3つのベクトルの等式が成り立つことを証明します。

(1) $|a + 3b|^2 = |a|^2 + 6a \cdot b + 9|b|^2$

(2) $(3a - 4b) \cdot (3a + 4b) = 9|a|^2 - 16|b|^2$

(3) $(p - a) \cdot (p + 2b) = |p|^2 + (2b - a) \cdot p - 2a \cdot b$

2. 解き方の手順

**(1) $|a + 3b|^2 = |a|^2 + 6a \cdot b + 9|b|^2$ の証明**

ベクトルの絶対値の2乗は、ベクトル自身の内積に等しいことを利用します。

$|a + 3b|^2 = (a + 3b) \cdot (a + 3b)$

内積の分配法則を用いて展開します。

$(a + 3b) \cdot (a + 3b) = a \cdot a + a \cdot (3b) + (3b) \cdot a + (3b) \cdot (3b)$

スカラー倍と内積の性質から、$a \cdot (3b) = 3(a \cdot b)$と$(3b) \cdot a = 3(b \cdot a)$，$b \cdot a = a \cdot b$が成り立ちます。

したがって、

$a \cdot a + 3(a \cdot b) + 3(a \cdot b) + 9(b \cdot b) = a \cdot a + 6(a \cdot b) + 9(b \cdot b)$

$a \cdot a = |a|^2$、$b \cdot b = |b|^2$を代入すると、

$|a|^2 + 6(a \cdot b) + 9|b|^2$

よって、$|a + 3b|^2 = |a|^2 + 6a \cdot b + 9|b|^2$が成り立ちます。

**(2) $(3a - 4b) \cdot (3a + 4b) = 9|a|^2 - 16|b|^2$ の証明**

内積の分配法則を用いて展開します。

$(3a - 4b) \cdot (3a + 4b) = (3a) \cdot (3a) + (3a) \cdot (4b) + (-4b) \cdot (3a) + (-4b) \cdot (4b)$

スカラー倍と内積の性質から、

$9(a \cdot a) + 12(a \cdot b) - 12(b \cdot a) - 16(b \cdot b)$

$b \cdot a = a \cdot b$なので、$12(a \cdot b) - 12(b \cdot a) = 0$となり、

$9(a \cdot a) - 16(b \cdot b)$

$a \cdot a = |a|^2$、$b \cdot b = |b|^2$を代入すると、

$9|a|^2 - 16|b|^2$

よって、$(3a - 4b) \cdot (3a + 4b) = 9|a|^2 - 16|b|^2$が成り立ちます。

**(3) $(p - a) \cdot (p + 2b) = |p|^2 + (2b - a) \cdot p - 2a \cdot b$ の証明**

内積の分配法則を用いて展開します。

$(p - a) \cdot (p + 2b) = p \cdot p + p \cdot (2b) - a \cdot p - a \cdot (2b)$

スカラー倍と内積の性質から、

$p \cdot p + 2(p \cdot b) - (a \cdot p) - 2(a \cdot b)$

$p \cdot p = |p|^2$を代入すると、

$|p|^2 + 2(p \cdot b) - (a \cdot p) - 2(a \cdot b)$

ここで、$2(p \cdot b) - (a \cdot p) = 2(b \cdot p) - (a \cdot p) = (2b \cdot p) - (a \cdot p) = (2b - a) \cdot p$であるから、

$|p|^2 + (2b - a) \cdot p - 2(a \cdot b)$

よって、$(p - a) \cdot (p + 2b) = |p|^2 + (2b - a) \cdot p - 2a \cdot b$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $|a + 3b|^2 = |a|^2 + 6a \cdot b + 9|b|^2$

(2) $(3a - 4b) \cdot (3a + 4b) = 9|a|^2 - 16|b|^2$

(3) $(p - a) \cdot (p + 2b) = |p|^2 + (2b - a) \cdot p - 2a \cdot b$