三角形ABCがあり、$BC = a$, $CA = b$, $AB = \sqrt{10}$である。辺ABを4:3に内分する点をD, 辺BCを1:2に内分する点をEとし, 2直線 AE, CDの交点をKとする。$\vec{AK}$を$\vec{AB}$, $\vec{AC}$で表す。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、$BC = a$, $CA = b$, $AB = \sqrt{10}$である。辺ABを4:3に内分する点をD, 辺BCを1:2に内分する点をEとし, 2直線 AE, CDの交点をKとする。$\vec{AK}$を$\vec{AB}$, $\vec{AC}$で表す。

2. 解き方の手順

まず、点Dと点Eの位置ベクトルを求めます。

点Dは辺ABを4:3に内分するので、

$\vec{AD} = \frac{4}{7}\vec{AB}$

点Eは辺BCを1:2に内分するので、

$\vec{AE} = \frac{2\vec{AB} + \vec{AC}}{3}$

次に、点Kが直線AE上にあることから、実数$s$を用いて

$\vec{AK} = s\vec{AE} = s(\frac{2\vec{AB} + \vec{AC}}{3}) = \frac{2s}{3}\vec{AB} + \frac{s}{3}\vec{AC}$

同様に、点Kが直線CD上にあることから、実数$t$を用いて

$\vec{AK} = (1-t)\vec{AC} + t\vec{AD} = (1-t)\vec{AC} + t(\frac{4}{7}\vec{AB}) = \frac{4t}{7}\vec{AB} + (1-t)\vec{AC}$

$\vec{AB}$と$\vec{AC}$は一次独立なので、係数を比較すると

$\frac{2s}{3} = \frac{4t}{7}$

$\frac{s}{3} = 1-t$

これらの連立方程式を解きます。

$\frac{2s}{3} = \frac{4t}{7} \Rightarrow s = \frac{6t}{7}$

$\frac{s}{3} = 1-t \Rightarrow s = 3-3t$

$\frac{6t}{7} = 3-3t$

$6t = 21 - 21t$

$27t = 21$

$t = \frac{21}{27} = \frac{7}{9}$

$s = 3-3t = 3-3(\frac{7}{9}) = 3-\frac{7}{3} = \frac{9-7}{3} = \frac{2}{3}$

したがって、

$\vec{AK} = \frac{2s}{3}\vec{AB} + \frac{s}{3}\vec{AC} = \frac{2(\frac{2}{3})}{3}\vec{AB} + \frac{\frac{2}{3}}{3}\vec{AC} = \frac{4}{9}\vec{AB} + \frac{2}{9}\vec{AC}$

または

$\vec{AK} = \frac{4t}{7}\vec{AB} + (1-t)\vec{AC} = \frac{4(\frac{7}{9})}{7}\vec{AB} + (1-\frac{7}{9})\vec{AC} = \frac{4}{9}\vec{AB} + \frac{2}{9}\vec{AC}$

3. 最終的な答え

$\vec{AK} = \frac{4}{9}\vec{AB} + \frac{2}{9}\vec{AC}$