平面上に三角形ABCと点Pがあり、$2\vec{AP} + 3\vec{BP} + 5\vec{CP} = \vec{0}$を満たします。 (7) APとBCの交点をDとするとき、$BD:CD$ および $AP:DP$ を求めます。 (8) 面積比 $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB$ を求めます。

1. 問題の内容

平面上に三角形ABCと点Pがあり、$2\vec{AP} + 3\vec{BP} + 5\vec{CP} = \vec{0}$を満たします。

(7) APとBCの交点をDとするとき、$BD:CD$ および $AP:DP$ を求めます。

(8) 面積比 $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB$ を求めます。

2. 解き方の手順

(7)

まず、$2\vec{AP} + 3\vec{BP} + 5\vec{CP} = \vec{0}$ を変形します。

$2\vec{AP} + 3(\vec{AP} - \vec{AB}) + 5(\vec{AP} - \vec{AC}) = \vec{0}$

$2\vec{AP} + 3\vec{AP} - 3\vec{AB} + 5\vec{AP} - 5\vec{AC} = \vec{0}$

$10\vec{AP} = 3\vec{AB} + 5\vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{3\vec{AB} + 5\vec{AC}}{10}$

$\vec{AP} = \frac{8}{10} \cdot \frac{3\vec{AB} + 5\vec{AC}}{8}$

$\vec{AP} = \frac{4}{5} \cdot \frac{3\vec{AB} + 5\vec{AC}}{8}$

DはAPとBCの交点なので、$\vec{AD} = k\vec{AP}$ とおけます。また、DはBC上にあるので、$\vec{AD} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AC}$ と表せます。

$\vec{AD} = k \cdot \frac{3\vec{AB} + 5\vec{AC}}{10} = \frac{3k}{10}\vec{AB} + \frac{5k}{10}\vec{AC}$

係数を比較して、

$1-t = \frac{3k}{10}$

$t = \frac{5k}{10}$

$1 = \frac{3k}{10} + \frac{5k}{10} = \frac{8k}{10}$

$k = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

したがって、$\vec{AP} = \frac{4}{5}\vec{AD}$, つまり、$AP : DP = 4:1$ です。

$t = \frac{5}{10} \cdot \frac{5}{4} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8}$

したがって、$\vec{AD} = (1-\frac{5}{8})\vec{AB} + \frac{5}{8}\vec{AC} = \frac{3}{8}\vec{AB} + \frac{5}{8}\vec{AC}$

$BD:CD = 5:3$

(8)

$\vec{AP} = \frac{3\vec{AB} + 5\vec{AC}}{10}$ より、$\vec{AP} = \frac{3}{10}\vec{AB} + \frac{5}{10}\vec{AC}$

$10\vec{AP} = 3\vec{AB} + 5\vec{AC}$

$2\vec{AP} + 3\vec{BP} + 5\vec{CP} = \vec{0}$

$2S_{\triangle PBC} = 3S_{\triangle PCA} = 5S_{\triangle PAB} = k$ とすると

$S_{\triangle PBC} = \frac{k}{2}$, $S_{\triangle PCA} = \frac{k}{3}$, $S_{\triangle PAB} = \frac{k}{5}$

$S_{\triangle PBC} : S_{\triangle PCA} : S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{5} = 15 : 10 : 6$

3. 最終的な答え

(7) $BD:CD = 5:3$, $AP:DP = 4:1$

(8) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 15 : 10 : 6$