1. 問題の内容
円周上に点A, B, C, D, Eがあり、弧AB=弧BC、弧AE=弧EDである。∠CAD=30°であるとき、∠BAC = αを求めよ。
2. 解き方の手順
まず、円周角の定理より、等しい弧に対する円周角は等しいことを利用する。
弧AB = 弧BCより、∠ACB = ∠BAC = α
弧AE = 弧EDより、∠ADE = ∠DAE
円周角の定理より、
∠ADE = ∠ACE
∠DAE = ∠DCE
したがって、∠ADE = ∠ACE = ∠DAE = ∠DCE
ここで、円周上の点A, C, D, Eに注目する。
円周角の定理より、
∠CAE = ∠CDE
∠ACE + ∠DCE = ∠ACD
∠ACE = ∠ADE
∠DCE = ∠DAE
∠ACD = 30°
円周角の定理より、弧AE = 弧EDより
∠ACE = ∠ADE = ∠DAE = ∠DCE であるから、
∠ACE + ∠DCE = 30°
∠ACE = ∠DCE = 15°
次に、円周上の点A, B, Cに注目する。
∠BAC = ∠BCA = α
三角形ABCの内角の和を考える。
∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°
∠ABC + α + α = 180°
∠ABC = 180° - 2α
円周角の定理より、弧ACに対する円周角は∠ABCと∠ADCである。
∠ABC = ∠ADC
したがって、∠ADC = 180° - 2α
四角形ACDEの内角の和は360°であるから、
∠ACD + ∠CDE + ∠DEA + ∠EAC = 360°
30° + ∠CDE + ∠DEA + ∠EAC = 360°
ここで∠CDE = ∠CAE
∠EAC = ∠EAD + ∠DAC = ∠ADE + 30° = 15°+30° = 45°
∠CDE + ∠DEA = ∠CAE + ∠DEA
∠ACD + ∠DEA + ∠EAC + ∠CDE = 360°
30° + ∠DEA + 45° + ∠CAE = 360°
∠DEA + ∠CAE = 285°
別の解き方：
四角形ABCDにおいて、∠ABC + ∠ADC = 180°
∠ABC = 180° - 2α であるから、∠ADC = 2α
円周角の定理より、∠ADC = ∠ABC = 2α
∠ADC = ∠ADE + ∠EDC = 2α
∠ADE = 15°であるから、∠EDC = 2α - 15°
∠EAC = ∠EAD + ∠DAC = 15 + 30 = 45°
四角形ACDEの内角の和は360°であるから、
∠ACD + ∠CDE + ∠DEA + ∠EAC = 360°
30° + ∠CDE + ∠DEA + 45° = 360°
∠CDE + ∠DEA = 285°
円周角の定理より、
∠CBD = ∠CAD = 30°
∠ACB = α
∠ACD = 30°
∠BCD = α + 30°
弧BDに対する円周角は∠BCD = α + 30°
弧AB = 弧BC より、
弧ABに対する円周角 = α
弧BCに対する円周角 = α
弧AE = 弧ED より、
弧AEに対する円周角 = 15°
弧EDに対する円周角 = 15°
∠AED = α
∠BCD = α + 30°
∠BCD = ∠BAD = α + 30°
∠BAC + ∠CAD = α + 30°
∠BAC = α
∠CAD = 30°
∠BAE + ∠EAD = ∠BAD
∠BAE + 15 = α + 30°
∠BAE = α + 15
円に内接する四角形ABDEにおいて、
∠ABE + ∠ADE = 180°
∠ADE = 15°
∠ABE = 165°
∠ABC = ∠ABE + ∠EBC
∠EBC = ?
正五角形の場合、内角は108度。
α = 36度と予想
∠ABC = 180 - 2α
∠AED = α
∠EDC = 2α - 15
∠ADE = 15
∠EAC = 45
∠ACD = 30
∠BAC = α
3. 最終的な答え
α = 30°