直線 $l: y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$ があり、直線 $l$ 上の $x$ 座標が4である点Pを通る、傾きが2である直線 $m$ がある。直線 $l, m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれA, Bとする。 (1) 直線 $m$ の式を求めよ。 (2) 三角形ABPの面積を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$ があり、直線 $l$ 上の $x$ 座標が4である点Pを通る、傾きが2である直線 $m$ がある。直線 $l, m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれA, Bとする。

(1) 直線 $m$ の式を求めよ。

(2) 三角形ABPの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず点Pの座標を求める。直線 $l$ の式に $x=4$ を代入すると、

$y = \frac{2}{3}(4) + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} + \frac{4}{3} = \frac{12}{3} = 4$

したがって、点Pの座標は $(4, 4)$ である。

次に、傾きが2で点 $(4, 4)$ を通る直線 $m$ の式を求める。直線 $m$ の式を $y = 2x + b$ とおき、点 $(4, 4)$ を代入すると、

$4 = 2(4) + b$

$4 = 8 + b$

$b = -4$

よって、直線 $m$ の式は $y = 2x - 4$ である。

(2) 点Aの座標を求める。点Aは直線 $l$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を $y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$ に代入すると、

$0 = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$

$\frac{2}{3}x = -\frac{4}{3}$

$x = -2$

したがって、点Aの座標は $(-2, 0)$ である。

点Bの座標を求める。点Bは直線 $m$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を $y = 2x - 4$ に代入すると、

$0 = 2x - 4$

$2x = 4$

$x = 2$

したがって、点Bの座標は $(2, 0)$ である。

三角形ABPの面積を求める。ABを底辺とすると、ABの長さは $2 - (-2) = 4$ である。高さは点Pの $y$ 座標なので4である。

よって、三角形ABPの面積は

$\frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$

3. 最終的な答え

(1) 直線 $m$ の式: $y = 2x - 4$

(2) 三角形ABPの面積: 8