$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OP} = 3\vec{a} - \vec{b}$, $\vec{OQ} = \vec{a} + \vec{b}$であるとき、$\vec{PQ} // \vec{AB}$であることを示す。ただし、$\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$で、$\vec{a}$と$\vec{b}$は平行でないものとする。

1. 問題の内容

$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OP} = 3\vec{a} - \vec{b}$, $\vec{OQ} = \vec{a} + \vec{b}$であるとき、$\vec{PQ} // \vec{AB}$であることを示す。ただし、$\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$で、$\vec{a}$と$\vec{b}$は平行でないものとする。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{PQ}$と$\vec{AB}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表します。

$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}$なので、

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\vec{PQ} = (\vec{a} + \vec{b}) - (3\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} + \vec{b} - 3\vec{a} + \vec{b} = -2\vec{a} + 2\vec{b} = 2(-\vec{a} + \vec{b})

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$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$なので、

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\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -\vec{a} + \vec{b}

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したがって、

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\vec{PQ} = 2\vec{AB}

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$\vec{PQ}$は$\vec{AB}$のスカラー倍で表されるので、$\vec{PQ} // \vec{AB}$であることが示されました。

3. 最終的な答え

$\vec{PQ} = 2\vec{AB}$より、$\vec{PQ} // \vec{AB}$である。