次の2つの円について、それぞれの位置関係を調べます。 (1) $x^2 + y^2 = 9$, $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$ (2) $(x-2)^2 + (y+5)^2 = 36$, $(x+1)^2 + (y-6)^2 = 16$ (3) $(x-3)^2 + y^2 = 3$, $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 22 = 0$ (4) $x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$, $x^2 + y^2 - 8x - 8y + 23 = 0$ (5) $x^2 + y^2 + 2x - 8y - 73 = 0$, $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 35 = 0$

## 数学の問題の回答

1. 問題の内容

次の2つの円について、それぞれの位置関係を調べます。

(1) $x^2 + y^2 = 9$, $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$

(2) $(x-2)^2 + (y+5)^2 = 36$, $(x+1)^2 + (y-6)^2 = 16$

(3) $(x-3)^2 + y^2 = 3$, $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 22 = 0$

(4) $x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$, $x^2 + y^2 - 8x - 8y + 23 = 0$

(5) $x^2 + y^2 + 2x - 8y - 73 = 0$, $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 35 = 0$

2. 解き方の手順

2つの円の位置関係は、それぞれの中心間の距離$d$と半径$r_1$, $r_2$の関係によって決まります。

* $d > r_1 + r_2$: 互いに外部にある

* $d = r_1 + r_2$: 外接する

* $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$: 2点で交わる

* $d = |r_1 - r_2|$: 内接する

* $d < |r_1 - r_2|$: 一方の円が他方の円の内部にある

* $d = 0, r_1=r_2$: 一致する（今回はありえない）

各問題について、円の中心座標と半径を求め、中心間の距離を計算し、上記の関係と比較することで位置関係を判定します。

(1)

円1: 中心(0, 0), 半径3

円2: 中心(3, 4), 半径5

中心間の距離: $d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$r_1 + r_2 = 3 + 5 = 8$

$|r_1 - r_2| = |3 - 5| = 2$

$2 < 5 < 8$なので、2点で交わる

(2)

円1: 中心(2, -5), 半径6

円2: 中心(-1, 6), 半径4

中心間の距離: $d = \sqrt{(-1-2)^2 + (6-(-5))^2} = \sqrt{9 + 121} = \sqrt{130}$

$r_1 + r_2 = 6 + 4 = 10$

$|r_1 - r_2| = |6 - 4| = 2$

$\sqrt{130} \approx 11.4$

$11.4 > 10$なので、互いに外部にある

(3)

円1: 中心(3, 0), 半径$\sqrt{3}$

円2: $x^2 - 2x + y^2 - 4y = 22$

$(x-1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 = 22$

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 27$

円2: 中心(1, 2), 半径$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

中心間の距離: $d = \sqrt{(1-3)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$r_1 + r_2 = \sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

$|r_1 - r_2| = | \sqrt{3} - 3\sqrt{3} | = 2\sqrt{3}$

$2\sqrt{3} \approx 3.46$, $4\sqrt{3} \approx 6.93$, $2\sqrt{2} \approx 2.83$

$2\sqrt{2} < 2\sqrt{3}$なので、一方の円が他方の円の内部にある

(4)

円1: $x^2 - 2x + y^2 = 3$

$(x-1)^2 - 1 + y^2 = 3$

$(x-1)^2 + y^2 = 4$

中心(1, 0), 半径2

円2: $x^2 - 8x + y^2 - 8y = -23$

$(x-4)^2 - 16 + (y-4)^2 - 16 = -23$

$(x-4)^2 + (y-4)^2 = 9$

中心(4, 4), 半径3

中心間の距離: $d = \sqrt{(4-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5$

$|r_1 - r_2| = |2 - 3| = 1$

$d = r_1 + r_2$なので、外接する

(5)

円1: $x^2 + 2x + y^2 - 8y = 73$

$(x+1)^2 - 1 + (y-4)^2 - 16 = 73$

$(x+1)^2 + (y-4)^2 = 90$

中心(-1, 4), 半径$\sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

円2: $x^2 + 4x + y^2 - 2y = 35$

$(x+2)^2 - 4 + (y-1)^2 - 1 = 35$

$(x+2)^2 + (y-1)^2 = 40$

中心(-2, 1), 半径$\sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

中心間の距離: $d = \sqrt{(-2-(-1))^2 + (1-4)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

$r_1 + r_2 = 3\sqrt{10} + 2\sqrt{10} = 5\sqrt{10}$

$|r_1 - r_2| = |3\sqrt{10} - 2\sqrt{10}| = \sqrt{10}$

$d = |r_1 - r_2|$なので、内接する

3. 最終的な答え

(1) 2点で交わる

(2) 互いに外部にある

(3) 一方の円が他方の円の内部にある

(4) 外接する

(5) 内接する