ベクトル $\vec{a} = (-1, 7)$ と $45^\circ$ の角をなし、大きさが 5 であるベクトル $\vec{x}$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-1, 7)$ と $45^\circ$ の角をなし、大きさが 5 であるベクトル $\vec{x}$ を求める。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{x} = (x, y)$ とおく。

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{x}$ のなす角が $45^\circ$ であるから、内積の定義より

$\vec{a} \cdot \vec{x} = |\vec{a}| |\vec{x}| \cos 45^\circ$

が成り立つ。

$\vec{a} \cdot \vec{x} = -x + 7y$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

$|\vec{x}| = 5$

$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

であるから、

$-x + 7y = 5\sqrt{2} \cdot 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 25$

$x = 7y - 25$ ...(1)

また、 $|\vec{x}| = 5$ より、

$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ ...(2)

(1)を(2)に代入すると、

$(7y - 25)^2 + y^2 = 25$

$49y^2 - 350y + 625 + y^2 = 25$

$50y^2 - 350y + 600 = 0$

$y^2 - 7y + 12 = 0$

$(y - 3)(y - 4) = 0$

よって、$y = 3, 4$

$y = 3$ のとき、(1)より $x = 7 \cdot 3 - 25 = 21 - 25 = -4$

$y = 4$ のとき、(1)より $x = 7 \cdot 4 - 25 = 28 - 25 = 3$

したがって、$\vec{x} = (-4, 3), (3, 4)$

3. 最終的な答え

$\vec{x} = (-4, 3), (3, 4)$