鋭角三角形の3辺の長さが1, 3, aであるとする。 (1) aのとりうる値の範囲を求める。 (2) この三角形の外接円の半径が $\frac{9}{\sqrt{35}}$ のとき、aの値を求める。

1. 問題の内容

鋭角三角形の3辺の長さが1, 3, aであるとする。

(1) aのとりうる値の範囲を求める。

(2) この三角形の外接円の半径が $\frac{9}{\sqrt{35}}$ のとき、aの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形が成立するための条件は、任意の2辺の長さの和が残りの1辺の長さより大きいことである。

したがって、

$1+3 > a$,

$1+a > 3$,

$3+a > 1$.

これらの不等式から、

$a < 4$,

$a > 2$,

$a > -2$.

したがって、$2 < a < 4$である。

次に、鋭角三角形の条件を考える。

3辺の長さがa, b, cの三角形が鋭角三角形であるための条件は、

$a^2 + b^2 > c^2$,

$b^2 + c^2 > a^2$,

$c^2 + a^2 > b^2$

がすべて成り立つことである。

この問題では、辺の長さは1, 3, aであるから、

$1^2 + 3^2 > a^2$,

$1^2 + a^2 > 3^2$,

$3^2 + a^2 > 1^2$.

これらの不等式から、

$10 > a^2$,

$1 + a^2 > 9$,

$9 + a^2 > 1$.

したがって、

$a^2 < 10$,

$a^2 > 8$,

$a^2 > -8$.

よって、

$\sqrt{8} < a < \sqrt{10}$.

すなわち、$2\sqrt{2} < a < \sqrt{10}$である。

$2\sqrt{2} \approx 2.828$

$\sqrt{10} \approx 3.162$

したがって、aのとりうる値の範囲は、$2\sqrt{2} < a < \sqrt{10}$となる。

(2) 外接円の半径Rが $\frac{9}{\sqrt{35}}$ のとき、正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

三角形の面積Sは、$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$

$S = \frac{abc}{4R}$

この問題では、a, 1, 3が三角形の3辺の長さであり、R=$\frac{9}{\sqrt{35}}$であるから、

$S = \frac{3a}{4R} = \frac{3a}{4\cdot \frac{9}{\sqrt{35}}} = \frac{3a\sqrt{35}}{36} = \frac{a\sqrt{35}}{12}$

ヘロンの公式より、$s = \frac{1+3+a}{2} = \frac{4+a}{2}$

$S = \sqrt{s(s-1)(s-3)(s-a)} = \sqrt{\frac{4+a}{2}(\frac{4+a}{2}-1)(\frac{4+a}{2}-3)(\frac{4+a}{2}-a)} = \sqrt{\frac{4+a}{2}\cdot \frac{2+a}{2}\cdot \frac{a-2}{2}\cdot \frac{4-a}{2}} = \frac{1}{4}\sqrt{(4+a)(2+a)(a-2)(4-a)} = \frac{1}{4}\sqrt{(16-a^2)(a^2-4)}$

$\frac{a\sqrt{35}}{12} = \frac{1}{4}\sqrt{(16-a^2)(a^2-4)}$

$\frac{a^2(35)}{144} = \frac{1}{16}(16a^2 - 64 - a^4 + 4a^2)$

$\frac{35a^2}{9} = 20a^2 - a^4 - 64$

$35a^2 = 180a^2 - 9a^4 - 576$

$9a^4 - 145a^2 + 576 = 0$

$a^2 = \frac{145 \pm \sqrt{145^2 - 4\cdot 9 \cdot 576}}{18} = \frac{145 \pm \sqrt{21025 - 20736}}{18} = \frac{145 \pm \sqrt{289}}{18} = \frac{145 \pm 17}{18}$

$a^2 = \frac{162}{18} = 9$ または $a^2 = \frac{128}{18} = \frac{64}{9}$

したがって、$a = 3$ または $a = \frac{8}{3}$

$2\sqrt{2} < a < \sqrt{10}$より、$2.828 < a < 3.162$

$a = 3$は範囲を満たす。$a=\frac{8}{3}=2.666$となり、範囲を満たさない。

よって、$a = 3$.

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{2} < a < \sqrt{10}$

(2) $a = 3$