## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

(1) 一辺の長さが1の正四面体ABCDがある。三角形BCDの重心をPとし、点Gを $\vec{AG} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}}{4}$ を満たす点とする。

(ア) 線分AGの長さを求めよ。

(イ) 3点A, G, Pが同一直線上にあることを示せ。

(ウ) AG:GPを求めよ。

(エ) $\cos \angle AGB$ の値を求めよ。

(2) 座標空間において、点A(1, 2, 0), B(2, 3, -1)をとる。2点A, Bを通る直線をlとする。実数tが定める点P(t, -t, 3t)に対して、直線l上に点Qを、線分PQと直線lが直交するようにとる。

(ア) 点Qの座標をtを用いて表せ。

(イ) tを変化させるとき、線分PQの長さが最小となるようなtの値を求めよ。

##

2. 解き方の手順

### (1)

(ア) $\vec{AG} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}}{4}$ より、

$|\vec{AG}|^2 = \frac{1}{16} |\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}|^2$

$= \frac{1}{16} (|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 + |\vec{AD}|^2 + 2\vec{AB} \cdot \vec{AC} + 2\vec{AC} \cdot \vec{AD} + 2\vec{AD} \cdot \vec{AB})$

正四面体なので、 $|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = |\vec{AD}| = 1$ であり、$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AC} \cdot \vec{AD} = \vec{AD} \cdot \vec{AB} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ である。

したがって、

$|\vec{AG}|^2 = \frac{1}{16} (1 + 1 + 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{16} (3 + 3) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

$|\vec{AG}| = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

(イ) $\vec{AP} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}}{3}$ より、

$\vec{AG} = \frac{3}{4} \vec{AP}$

よって、A, G, Pは同一直線上にある。

(ウ) $\vec{AG} = \frac{3}{4} \vec{AP}$ より、

$\vec{GP} = \vec{AP} - \vec{AG} = \vec{AP} - \frac{3}{4} \vec{AP} = \frac{1}{4} \vec{AP}$

したがって、$AG:GP = |\frac{3}{4}\vec{AP}| : |\frac{1}{4}\vec{AP}| = 3:1$

(エ) $\cos \angle AGB = \frac{\vec{GA} \cdot \vec{GB}}{|\vec{GA}| |\vec{GB}|}$

$\vec{GA} = - \vec{AG} = -\frac{\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}}{4}$

$\vec{GB} = \vec{AB} - \vec{AG} = \vec{AB} - \frac{\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}}{4} = \frac{3\vec{AB} - \vec{AC} - \vec{AD}}{4}$

$\vec{GA} \cdot \vec{GB} = -\frac{1}{16} (\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}) \cdot (3\vec{AB} - \vec{AC} - \vec{AD})$

$= -\frac{1}{16} (3|\vec{AB}|^2 - \vec{AB} \cdot \vec{AC} - \vec{AB} \cdot \vec{AD} + 3\vec{AC} \cdot \vec{AB} - |\vec{AC}|^2 - \vec{AC} \cdot \vec{AD} + 3\vec{AD} \cdot \vec{AB} - \vec{AD} \cdot \vec{AC} - |\vec{AD}|^2)$

$= -\frac{1}{16} (3 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 1 - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} - 1) = -\frac{1}{16} (3-1-1+\frac{3-1+3-1}{2}) = -\frac{1}{16} (1+2) = -\frac{3}{16}$

$|\vec{GA}| = |\vec{AG}| = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$|\vec{GB}|^2 = \frac{1}{16} |3\vec{AB} - \vec{AC} - \vec{AD}|^2 = \frac{1}{16} (9|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 + |\vec{AD}|^2 - 6\vec{AB}\cdot\vec{AC} - 6\vec{AB}\cdot\vec{AD} + 2\vec{AC}\cdot\vec{AD})$

$= \frac{1}{16} (9 + 1 + 1 - 6 \cdot \frac{1}{2} - 6 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{16} (11 - 3 - 3 + 1) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

$|\vec{GB}| = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$\cos \angle AGB = \frac{-\frac{3}{16}}{\frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4}} = \frac{-\frac{3}{16}}{\frac{6}{16}} = -\frac{1}{2}$

### (2)

(ア) 直線lは点A(1, 2, 0)を通り、方向ベクトルは$\vec{AB} = (2-1, 3-2, -1-0) = (1, 1, -1)$である。

したがって、直線l上の点Qの座標は $(1+s, 2+s, -s)$ と表せる。（sは実数）

$\vec{PQ} = (1+s-t, 2+s+t, -s-3t)$

$\vec{AB} \cdot \vec{PQ} = (1+s-t) + (2+s+t) - (-s-3t) = 1+s-t + 2+s+t+s+3t = 3s + 3t + 3 = 0$

$s = -t - 1$

点Qの座標は $(1-t-1, 2-t-1, t+1) = (-t, 1-t, t+1)$

(イ) $\vec{PQ} = (-t - t, 1-t+t, t+1-3t) = (-2t, 1, 1-2t)$

$|\vec{PQ}|^2 = 4t^2 + 1 + 1 - 4t + 4t^2 = 8t^2 - 4t + 2 = 8(t^2 - \frac{1}{2}t) + 2 = 8(t - \frac{1}{4})^2 - 8 \cdot \frac{1}{16} + 2 = 8(t-\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{2} + 2 = 8(t - \frac{1}{4})^2 + \frac{3}{2}$

$|\vec{PQ}|^2$が最小となるのは $t = \frac{1}{4}$ のとき。

このとき、線分PQの長さが最小となる。

##

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $\frac{\sqrt{6}}{4}$

(イ) 3点A, G, Pは同一直線上にある

(ウ) 3:1

(エ) $-\frac{1}{2}$

(2)

(ア) $(-t, 1-t, t+1)$

(イ) $\frac{1}{4}$