2点 $A(3, 0)$、$B(8, 0)$からの距離の比が $2:3$ である点 $P(x, y)$ の軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

2点 $A(3, 0)$、$B(8, 0)$からの距離の比が $2:3$ である点 $P(x, y)$ の軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とおきます。問題文の条件より、$AP:BP = 2:3$ が成り立ちます。これから、$3AP = 2BP$ となります。この式を二乗すると、$9AP^2 = 4BP^2$ が得られます。

$AP^2 = (x - 3)^2 + y^2$

$BP^2 = (x - 8)^2 + y^2$

これらの式を $9AP^2 = 4BP^2$ に代入すると、

$9[(x - 3)^2 + y^2] = 4[(x - 8)^2 + y^2]$

展開して整理します。

$9(x^2 - 6x + 9 + y^2) = 4(x^2 - 16x + 64 + y^2)$

$9x^2 - 54x + 81 + 9y^2 = 4x^2 - 64x + 256 + 4y^2$

$5x^2 + 10x + 5y^2 - 175 = 0$

両辺を5で割ると、

$x^2 + 2x + y^2 - 35 = 0$

平方完成を行うと、

$(x + 1)^2 - 1 + y^2 - 35 = 0$

$(x + 1)^2 + y^2 = 36$

これは、中心が $(-1, 0)$、半径が6の円を表します。

3. 最終的な答え

$(x+1)^2 + y^2 = 36$