問題は、立方体の6つの面を6種類の色すべてを用いて塗り分ける方法が何通りあるかを求めるものです。

1. 問題の内容

問題は、立方体の6つの面を6種類の色すべてを用いて塗り分ける方法が何通りあるかを求めるものです。

2. 解き方の手順

まず、6つの面を区別して考えた場合、6つの色を並べる順列の総数は $6!$ です。

しかし、立方体は回転させることができるため、回転によって同じ塗り方になるものを同一視する必要があります。

立方体をある1つの面を下にして固定した場合、上面にくる色は6通りあります。上面の色を決めた後、側面は残りの5つの色を円順列で並べることになります。円順列は $(n-1)!$ で計算できます。

したがって、上面の色を固定したときの側面の色の並び方は $(5-1)! = 4!$ 通りです。

立方体の下面の色は上面の色が決まると自動的に決まります。

したがって、立方体の回転を考慮した塗り分け方は、

$$6 \times 4! = 6 \times 24 = 144$$

となります。

別の考え方として、まず１つの面の色を固定します。すると、残りの５つの面を自由に塗り分けることができます。つまり、残りの5つの色を並び替える順列は5!通りあります。しかし、立方体は回転させることができるため、回転によって同じ塗り方になるものを同一視する必要があります。立方体を回転させると、ある特定の面を正面に持って来ることができます。正面を決めたとき、その反対側の面も決まります。残りの４つの面は円順列で並べることが出来ます。したがって、円順列は(4-1)!=3!=6となります。

$$5! / 5 * 4 * 3 * 2 *1 = 120$$

異なる考え方として、

6つの面を区別した場合、$6!$通りの塗り方があります。

立方体の回転は、まずある面を底面に固定し、次に側面を回転させることを考えると、回転の自由度は $4$ 通りです。従って、回転によって同じ塗り方になるものを同一視するため、$6!$ を $6 \times 4 = 24$ で割る必要があります。

$$\frac{6!}{24} = \frac{720}{24} = 30$$

3. 最終的な答え

立方体の6個の面を6種類の色すべてを用いて塗り分ける方法は30通りです。

以下のように計算することもできる。

まず、ある1つの色を底面に固定すると、上面の色は残りの5色から選べるので5通り。

次に、側面の4つの面は残りの4色を円順列で並べるので、$(4-1)! = 3! = 6$通り。

よって、$5 \times 6 = 30$通り。

最終的な答え：30通り