中心が点$(-3, 4)$である円Cと、円 $x^2 + y^2 = 1$が内接するとき、円Cの方程式を求める。

1. 問題の内容

中心が点$(-3, 4)$である円Cと、円 $x^2 + y^2 = 1$が内接するとき、円Cの方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、円 $x^2 + y^2 = 1$の中心と半径を求める。中心は原点$(0, 0)$であり、半径は1である。

次に、2つの円の中心間の距離$d$を求める。中心間の距離は、点$(0, 0)$と点$(-3, 4)$の間の距離なので、

$d = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$となる。

2つの円が内接するとき、2つの円の中心間の距離は、2つの円の半径の差に等しい。円Cの半径を$r$とすると、

$5 = |r - 1|$

ここで、$r > 0$である。

もし $r > 1$ の場合、$5 = r - 1$となるので、$r = 6$

もし $r < 1$ の場合、$5 = 1 - r$となるので、$r = -4$ となり、これは $r > 0$ に矛盾する。

したがって、円Cの半径は6である。

円Cの方程式は、中心が$(-3, 4)$、半径が6なので、

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 6^2$となる。

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 36$

3. 最終的な答え

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 36$