問題40は、与えられた方程式がどのような図形を表すか答える問題です。問題41は、3点A(2,1), B(-2,1), C(-1,4)を通る円の方程式を求める問題です。ここでは問題41のみを解きます。

1. 問題の内容

問題40は、与えられた方程式がどのような図形を表すか答える問題です。問題41は、3点A(2,1), B(-2,1), C(-1,4)を通る円の方程式を求める問題です。ここでは問題41のみを解きます。

2. 解き方の手順

3点A, B, Cを通る円の方程式を求めるには、一般形 $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ に各点の座標を代入して、l, m, nに関する連立方程式を解きます。

点A(2,1)を代入すると、

$2^2 + 1^2 + 2l + m + n = 0$

$5 + 2l + m + n = 0$

$2l + m + n = -5$ (1)

点B(-2,1)を代入すると、

$(-2)^2 + 1^2 - 2l + m + n = 0$

$5 - 2l + m + n = 0$

$-2l + m + n = -5$ (2)

点C(-1,4)を代入すると、

$(-1)^2 + 4^2 - l + 4m + n = 0$

$17 - l + 4m + n = 0$

$-l + 4m + n = -17$ (3)

(1) + (2) より、

$2m + 2n = -10$

$m + n = -5$ (4)

(1) - (2) より、

$4l = 0$

$l = 0$

(3)に $l=0$ を代入すると、

$4m + n = -17$ (5)

(5) - (4) より、

$3m = -12$

$m = -4$

(4)に $m=-4$ を代入すると、

$-4 + n = -5$

$n = -1$

したがって、$l = 0, m = -4, n = -1$ となるので、求める円の方程式は

$x^2 + y^2 - 4y - 1 = 0$

$x^2 + (y^2 - 4y) - 1 = 0$

$x^2 + (y^2 - 4y + 4) - 4 - 1 = 0$

$x^2 + (y - 2)^2 = 5$

3. 最終的な答え

円の方程式は $x^2 + (y - 2)^2 = 5$。