2つの円 $x^2 + y^2 - 4 = 0$ と $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 6 = 0$ の交点と、点 $(1, 2)$ を通る円の方程式を求める。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 - 4 = 0$ と $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 6 = 0$ の交点と、点 $(1, 2)$ を通る円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

2つの円の交点を通る円の方程式は、実数 $k$ を用いて、

$$x^2 + y^2 - 4 + k(x^2 + y^2 - 4x + 2y - 6) = 0$$

と表せる。この円が点 $(1, 2)$ を通るので、代入すると、

$$1^2 + 2^2 - 4 + k(1^2 + 2^2 - 4(1) + 2(2) - 6) = 0$$

$$1 + 4 - 4 + k(1 + 4 - 4 + 4 - 6) = 0$$

$$1 + k(-1) = 0$$

$$1 - k = 0$$

$$k = 1$$

これを代入すると、

$$x^2 + y^2 - 4 + 1(x^2 + y^2 - 4x + 2y - 6) = 0$$

$$2x^2 + 2y^2 - 4x + 2y - 10 = 0$$

$$x^2 + y^2 - 2x + y - 5 = 0$$

$$x^2 - 2x + y^2 + y - 5 = 0$$

$$(x-1)^2 - 1 + (y + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 5 = 0$$

$$(x-1)^2 + (y+\frac{1}{2})^2 = \frac{25}{4}$$

$$x^2 + y^2 - 2x + y - 5 = 0$$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 - 2x + y - 5 = 0$