次の方程式がどのような図形を表すか答える問題です。 (1) $x^2 + y^2 + 12y = 0$ (2) $x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0$ (3) $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0$

1. 問題の内容

次の方程式がどのような図形を表すか答える問題です。

(1) $x^2 + y^2 + 12y = 0$

(2) $x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0$

(3) $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0$

2. 解き方の手順

円の方程式の一般形は、

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

で表されます。ここで、$(a, b)$は円の中心の座標、$r$は円の半径です。与えられた方程式をこの形に変形することで、どのような図形を表すか判断します。

(1) $x^2 + y^2 + 12y = 0$

$x^2 + (y^2 + 12y) = 0$

$x^2 + (y^2 + 12y + 36) - 36 = 0$

$x^2 + (y + 6)^2 = 36$

$x^2 + (y + 6)^2 = 6^2$

これは、中心が$(0, -6)$、半径が$6$の円を表します。

(2) $x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0$

$(x^2 - 8x) + y^2 + 12 = 0$

$(x^2 - 8x + 16) - 16 + y^2 + 12 = 0$

$(x - 4)^2 + y^2 - 4 = 0$

$(x - 4)^2 + y^2 = 4$

$(x - 4)^2 + y^2 = 2^2$

これは、中心が$(4, 0)$、半径が$2$の円を表します。

(3) $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0$

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) - 3 = 0$

$(x^2 + 4x + 4) - 4 + (y^2 - 6y + 9) - 9 - 3 = 0$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 - 16 = 0$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4^2$

これは、中心が$(-2, 3)$、半径が$4$の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心$(0, -6)$、半径$6$の円

(2) 中心$(4, 0)$、半径$2$の円

(3) 中心$(-2, 3)$、半径$4$の円