直角三角形ABCにおいて、∠B = 30°, AC = 1 である。辺AB上にAD = 1となる点Dをとり、Dを通るBCに垂直な直線とBCの交点をHとする。∠BCD, BD, DH, sin15°, cos15° の値を求める。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、∠B = 30°, AC = 1 である。辺AB上にAD = 1となる点Dをとり、Dを通るBCに垂直な直線とBCの交点をHとする。∠BCD, BD, DH, sin15°, cos15° の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) ∠BCD を求める。

△ABCは直角三角形なので、∠A = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°である。

また、$\frac{AC}{AB} = \tan{30^{\circ}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ より $AB = \sqrt{3}$

$BD = AB - AD = \sqrt{3} - 1$

$\triangle ACD$において、正弦定理より

$\frac{AD}{\sin{\angle ACD}} = \frac{AC}{\sin{\angle ADC}}$

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB$

$\angle ADB$に対して正弦定理を用いて、$\frac{BD}{\sin{\angle BAD}} = \frac{AD}{\sin{\angle ABD}}$

$\angle BAD = 60^\circ$, $\angle ABD = 30^\circ$ より

$\sin{\angle ADB} = \frac{\sin{\angle ABD} \cdot AD}{BD} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{\sqrt{3}-1} = \frac{1}{2(\sqrt{3}-1)} = \frac{\sqrt{3}+1}{2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}+1}{2(3-1)} = \frac{\sqrt{3}+1}{4}$

$\angle ADB = 15^\circ + 90^\circ$

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - (15^\circ + 90^\circ) = 75^\circ$

正弦定理 $\frac{1}{\sin{\angle ACD}} = \frac{1}{\sin{75^{\circ}}}$

$\sin{\angle ACD} = \sin{75^\circ}$ よって$\angle ACD = 75^\circ$

$\angle BCD = \angle ACB - \angle ACD = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$

(2) BD を求める。

$BD = AB - AD = \sqrt{3} - 1$

(3) DH を求める。

$\triangle BDH$ は直角三角形であり、$\angle DBH = 30^\circ$ であるから、

$DH = BD \cdot \sin{\angle DBH} = (\sqrt{3} - 1) \cdot \sin{30^\circ} = (\sqrt{3} - 1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$

(4) sin15°を求める。

$\sin{15^{\circ}} = \sin{(45^{\circ} - 30^{\circ})} = \sin{45^{\circ}} \cos{30^{\circ}} - \cos{45^{\circ}} \sin{30^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(5) cos15°を求める。

$\cos{15^{\circ}} = \cos{(45^{\circ} - 30^{\circ})} = \cos{45^{\circ}} \cos{30^{\circ}} + \sin{45^{\circ}} \sin{30^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) ∠BCD = $15^\circ$

(2) BD = $\sqrt{3} - 1$

(3) DH = $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

(4) sin15° = $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(5) cos15° = $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$