$\tan 165^\circ$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\tan 165^\circ$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$165^\circ$ を扱いやすい角度の和または差で表します。ここでは、$165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$ または $165^\circ = 180^\circ - 15^\circ$と考えることができます。

ここでは、$165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$を使うことにします。

$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ の公式を利用します。

$\tan 165^\circ = \tan (120^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 120^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 120^\circ \tan 45^\circ}$

ここで、$\tan 120^\circ = -\sqrt{3}$、$\tan 45^\circ = 1$ なので、

$\tan 165^\circ = \frac{-\sqrt{3} + 1}{1 - (-\sqrt{3})(1)} = \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分母と分子に $1-\sqrt{3}$ をかけます。

$\tan 165^\circ = \frac{(1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = -2 + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 2$

3. 最終的な答え

$\tan 165^\circ = \sqrt{3} - 2$