辺BCを斜辺とする直角三角形ABCにおいて、$\angle B = 30^{\circ}$、AC = 1とする。辺AB上にAD = 1となる点Dをとる。点Dを通るBCに垂直な直線とBCの交点をHとする。以下の値を求める。 (1) $\angle BCD$ (2) BD (3) DH (4) $\sin 15^{\circ}$ (5) $\cos 15^{\circ}$

1. 問題の内容

辺BCを斜辺とする直角三角形ABCにおいて、$\angle B = 30^{\circ}$、AC = 1とする。辺AB上にAD = 1となる点Dをとる。点Dを通るBCに垂直な直線とBCの交点をHとする。以下の値を求める。

(1) $\angle BCD$

(2) BD

(3) DH

(4) $\sin 15^{\circ}$

(5) $\cos 15^{\circ}$

2. 解き方の手順

(1) $\angle BCD$ を求める。

三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 90^{\circ}$、$\angle ABC = 30^{\circ}$より、$\angle ACB = 60^{\circ}$。

三角形ADHにおいて、AD = 1、$\angle AHD = 90^{\circ}$。

$\angle ADH = 30^{\circ}$となる。

三角形ADHにおいて、$\angle DAH = 90^{\circ} - \angle ADH = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$。

したがって、$\angle DAC = 60^{\circ}$となる。

$\angle DAB = \angle BAC - \angle DAC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$。

三角形ABDにおいて、AD = 1。$\angle DAB = 30^{\circ}$。

$\frac{AC}{AB} = \sin 30^\circ$より、$AB = \frac{AC}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$。

$BD = AB - AD = 2 - 1 = 1$。

三角形ABDは、AD = BDの二等辺三角形であるので、$\angle ADB = 180^{\circ} - 2 * 30^{\circ} = 120^{\circ}$。

$\angle BDC = 180^{\circ} - \angle ADB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$。

$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle DBC - \angle BDC$

$= 180^{\circ} - 30^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ}$

(2) BDを求める。

$BD = AB - AD = 2 - 1 = 1$

(3) DHを求める。

三角形BDHにおいて、$\angle DBH = 30^{\circ}$、$\angle DHB = 90^{\circ}$、BD = 1。

したがって、$DH = BD \cos 30^{\circ} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

(4) $\sin 15^{\circ}$を求める。

$\angle AHD = 90^\circ$なので、$\angle DHC = 90^\circ$。

$\angle BCD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$。

$\angle ACD = \angle ACB - \angle BCD = 60^{\circ}$

$\angle ACH = \angle ACB - \angle HCB = 60^\circ - (90^{\circ} - 30^{\circ}) = 60^\circ - 60^{\circ}$

三角形ACHにおいて、$\angle HAC = 60^{\circ}$

$\angle DCA = \angle ACB - \angle BCD = 60 - (90-30)=0$

$\angle C = 60^\circ, \angle B = 30^\circ, \angle A = 90^\circ$

AD = 1, AB = 2

$\angle DAH = 60^\circ$なので、$\angle CAD = 30^{\circ}$。よって$\angle ACD = 15$

3. 最終的な答え

(1) $\angle BCD = 15^{\circ}$

(2) $BD = 1$

(3) $DH = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(4) $\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(5) $\cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$