正七角形について、以下の数を求めます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数 (3) 対角線の本数

1. 問題の内容

正七角形について、以下の数を求めます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

(3) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

正七角形の7個の頂点から3個を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは組み合わせの公式 ${}_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できます。

${}_7 C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

正七角形の7個の頂点から4個を選ぶ組み合わせの数を求めます。

${}_7 C_4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(3) 対角線の本数

正n角形の対角線の本数は $\frac{n(n-3)}{2}$ で求められます。正七角形の場合、$n=7$ なので、

$\frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14$

3. 最終的な答え

(1) 35個

(2) 35個

(3) 14本