三角形ABCにおいて、以下の2つの等式が成立することを証明する。 (1) $4 \sin A \sin B \sin C = \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C$ (2) $2 \cos A \cos B \cos C = 1 - (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C)$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の2つの等式が成立することを証明する。

(1) $4 \sin A \sin B \sin C = \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C$

(2) $2 \cos A \cos B \cos C = 1 - (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C)$

2. 解き方の手順

(1) $4 \sin A \sin B \sin C = \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C$ の証明

右辺を変形していく。和積の公式を用いる。

$\sin 2A + \sin 2B = 2 \sin (A+B) \cos(A-B)$

ここで、$A+B+C = \pi$ より、$A+B = \pi - C$ なので、$\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C$

$\sin 2A + \sin 2B = 2 \sin C \cos(A-B)$

$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 2 \sin C \cos(A-B) + 2 \sin C \cos C$

$= 2 \sin C (\cos(A-B) + \cos C)$

ここで、$C = \pi - (A+B)$ より、$\cos C = \cos(\pi - (A+B)) = -\cos(A+B)$

$= 2 \sin C (\cos(A-B) - \cos(A+B))$

ここで、$\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2 \sin A \sin B$ より、

$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 2 \sin C (2 \sin A \sin B) = 4 \sin A \sin B \sin C$

したがって、$4 \sin A \sin B \sin C = \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C$ が成立する。

(2) $2 \cos A \cos B \cos C = 1 - (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C)$ の証明

右辺を変形していく。

$1 - (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C) = 1 - (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 (\pi - (A+B)))$

$= 1 - (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 (A+B))$

$= 1 - (\cos^2 A + \cos^2 B + (\cos A \cos B - \sin A \sin B)^2)$

$= 1 - (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 A \cos^2 B - 2 \cos A \cos B \sin A \sin B + \sin^2 A \sin^2 B)$

$= 1 - \cos^2 A - \cos^2 B - \cos^2 A \cos^2 B + 2 \cos A \cos B \sin A \sin B - \sin^2 A \sin^2 B$

$= \sin^2 A + \sin^2 B - \cos^2 A \cos^2 B + 2 \cos A \cos B \sin A \sin B - \sin^2 A \sin^2 B$

$= \sin^2 A - \sin^2 A \sin^2 B - \cos^2 A \cos^2 B + \sin^2 B + 2 \cos A \cos B \sin A \sin B$

$= \sin^2 A (1 - \sin^2 B) - \cos^2 A \cos^2 B + \sin^2 B + 2 \cos A \cos B \sin A \sin B$

$= \sin^2 A \cos^2 B - \cos^2 A \cos^2 B + \sin^2 B + 2 \cos A \cos B \sin A \sin B$

$= \cos^2 B(\sin^2 A - \cos^2 A) + \sin^2 B + 2 \cos A \cos B \sin A \sin B$

$= \cos^2 B(-\cos 2A) + \sin^2 B + \sin 2A \cos A \cos B$

$= -\cos^2 B \cos 2A + \sin^2 B + \sin 2A \cos A \cos B$

左辺を変形する。

$2 \cos A \cos B \cos C = 2 \cos A \cos B \cos(\pi - (A+B)) = -2 \cos A \cos B \cos(A+B)$

$= -2 \cos A \cos B (\cos A \cos B - \sin A \sin B)$

$= -2 \cos^2 A \cos^2 B + 2 \cos A \cos B \sin A \sin B$

$2 \cos A \cos B \cos C= 2 \cos A \cos B \cos(\pi - (A+B))$

$2 \cos A \cos B \cos C = 1 - (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C)$ を示すには、

$2 \cos A \cos B \cos C + \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C - 1 = 0$を示す必要がある

$A+B+C = \pi$の条件で、等式$2 \cos A \cos B \cos C = 1 - (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C)$が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $4 \sin A \sin B \sin C = \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C$ (成立)

(2) $2 \cos A \cos B \cos C = 1 - (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C)$ (成立)