円の方程式が $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ の形で与えられている場合、中心は $(a, b)$、半径は $r$ です。 円の方程式が $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ の形で与えられている場合、式を平方完成させて $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ の形に変形する必要があります。このとき、中心は $(-A/2, -B/2)$、半径は $r = \sqrt{(A/2)^2 + (B/2)^2 - C}$ となります。

## 問題188

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1. 問題の内容

2つの円の方程式が与えられたとき、それらの位置関係を調べる問題です。円の位置関係とは、(1)互いに外部にある、(2)外接する、(3)2点で交わる、(4)内接する、(5)一方が他方の内部にある、のいずれであるかを判定することです。

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2. 解き方の手順

2つの円の位置関係を調べるには、以下の手順で行います。

1. それぞれの円の中心の座標と半径を求めます。

円の方程式が $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ の形で与えられている場合、中心は $(a, b)$、半径は $r$ です。

円の方程式が $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ の形で与えられている場合、式を平方完成させて $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ の形に変形する必要があります。このとき、中心は $(-A/2, -B/2)$、半径は $r = \sqrt{(A/2)^2 + (B/2)^2 - C}$ となります。

2. 2つの円の中心間の距離 $d$ を求めます。

中心が $(a_1, b_1)$ と $(a_2, b_2)$ の円の場合、$d = \sqrt{(a_2 - a_1)^2 + (b_2 - b_1)^2}$ で計算します。

3. 2つの円の半径 $r_1$ と $r_2$ の和と差を求めます。

$r_1 + r_2$ および $|r_1 - r_2|$ を計算します。

4. 中心間の距離 $d$ と半径の和 $r_1 + r_2$ および半径の差 $|r_1 - r_2|$ を比較し、以下の表に基づいて位置関係を判定します。

| 関係 | 条件 |

| :------------------- | :------------ |

| 互いに外部にある | $d > r_1 + r_2$ |

| 外接する | $d = r_1 + r_2$ |

| 2点で交わる | $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ |

| 内接する | $d = |r_1 - r_2|$ |

| 一方が他方の内部にある | $d < |r_1 - r_2|$ |

以下に各問題の解法を示します。

**(1)**

円1: $x^2 + y^2 = 9$

中心: $(0, 0)$, 半径: $r_1 = 3$

円2: $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$

中心: $(3, 4)$, 半径: $r_2 = 5$

中心間の距離: $d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

半径の和: $r_1 + r_2 = 3 + 5 = 8$

半径の差: $|r_1 - r_2| = |3 - 5| = 2$

$d = 5 < 8 = r_1 + r_2$ かつ $d = 5 > 2 = |r_1 - r_2|$ なので、2点で交わる。

**(2)**

円1: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 36$

中心: $(2, -5)$, 半径: $r_1 = 6$

円2: $(x + 1)^2 + (y - 6)^2 = 16$

中心: $(-1, 6)$, 半径: $r_2 = 4$

中心間の距離: $d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (6 - (-5))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (11)^2} = \sqrt{9 + 121} = \sqrt{130}$

半径の和: $r_1 + r_2 = 6 + 4 = 10$

半径の差: $|r_1 - r_2| = |6 - 4| = 2$

$d = \sqrt{130} \approx 11.4 > 10 = r_1 + r_2$ なので、互いに外部にある。

**(3)**

円1: $(x - 3)^2 + y^2 = 3$

中心: $(3, 0)$, 半径: $r_1 = \sqrt{3}$

円2: $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 22 = 0$

平方完成: $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = 22 + 1 + 4$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 27$

中心: $(1, 2)$, 半径: $r_2 = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

中心間の距離: $d = \sqrt{(1 - 3)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

半径の和: $r_1 + r_2 = \sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

半径の差: $|r_1 - r_2| = |\sqrt{3} - 3\sqrt{3}| = |-2\sqrt{3}| = 2\sqrt{3}$

$d = 2\sqrt{2} \approx 2.83$, $r_1 + r_2 = 4\sqrt{3} \approx 6.93$, $|r_1 - r_2| = 2\sqrt{3} \approx 3.46$

$d < r_1 + r_2$ かつ $d < |r_1 - r_2|$ なので、一方が他方の内部にある。

**(4)**

円1: $x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$

平方完成: $(x^2 - 2x + 1) + y^2 = 3 + 1$

$(x - 1)^2 + y^2 = 4$

中心: $(1, 0)$, 半径: $r_1 = 2$

円2: $x^2 + y^2 - 8x - 8y + 23 = 0$

平方完成: $(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 8y + 16) = -23 + 16 + 16$

$(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 9$

中心: $(4, 4)$, 半径: $r_2 = 3$

中心間の距離: $d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

半径の和: $r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5$

半径の差: $|r_1 - r_2| = |2 - 3| = 1$

$d = r_1 + r_2$ なので、外接する。

**(5)**

円1: $x^2 + y^2 + 2x - 8y - 73 = 0$

平方完成: $(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 8y + 16) = 73 + 1 + 16$

$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 90$

中心: $(-1, 4)$, 半径: $r_1 = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

円2: $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 35 = 0$

平方完成: $(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 35 + 4 + 1$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 40$

中心: $(-2, 1)$, 半径: $r_2 = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

中心間の距離: $d = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

半径の和: $r_1 + r_2 = 3\sqrt{10} + 2\sqrt{10} = 5\sqrt{10}$

半径の差: $|r_1 - r_2| = |3\sqrt{10} - 2\sqrt{10}| = \sqrt{10}$

$d = \sqrt{10} < 5\sqrt{10} = r_1 + r_2$ かつ $d = \sqrt{10} = |r_1 - r_2|$ なので、内接する。

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3. 最終的な答え

(1) 2点で交わる

(2) 互いに外部にある

(3) 一方が他方の内部にある

(4) 外接する

(5) 内接する