与えられた直交座標の方程式を極座標の方程式に変換する問題です。 (1) $x^2 - y^2 = 1$ (2) $x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0$ (3) $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ ($a>0$)

1. 問題の内容

与えられた直交座標の方程式を極座標の方程式に変換する問題です。

(1) $x^2 - y^2 = 1$

(2) $x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0$

(3) $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ ($a>0$)

2. 解き方の手順

直交座標$(x, y)$と極座標$(r, \theta)$の関係は以下の通りです。

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

(1) $x^2 - y^2 = 1$

$x$と$y$を極座標に変換します。

$(r \cos \theta)^2 - (r \sin \theta)^2 = 1$

$r^2 \cos^2 \theta - r^2 \sin^2 \theta = 1$

$r^2 (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 1$

三角関数の倍角の公式 $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ を用いると、

$r^2 \cos 2\theta = 1$

$r^2 = \frac{1}{\cos 2\theta}$

$r^2 = \sec 2\theta$

(2) $x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0$

$x$と$y$を極座標に変換します。

$(r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2 - 2(r \cos \theta) + 2(r \sin \theta) = 0$

$r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta - 2r \cos \theta + 2r \sin \theta = 0$

$r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) - 2r \cos \theta + 2r \sin \theta = 0$

$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ より

$r^2 - 2r \cos \theta + 2r \sin \theta = 0$

$r(r - 2 \cos \theta + 2 \sin \theta) = 0$

$r = 0$ または $r - 2 \cos \theta + 2 \sin \theta = 0$

$r = 0$ は $r = 2 \cos \theta - 2 \sin \theta$ に含まれるため、$r = 2 \cos \theta - 2 \sin \theta$

$r = 2(\cos \theta - \sin \theta)$

(3) $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ ($a>0$)

$x$と$y$を極座標に変換します。

$(r \cos \theta - a)^2 + (r \sin \theta)^2 = a^2$

$r^2 \cos^2 \theta - 2ar \cos \theta + a^2 + r^2 \sin^2 \theta = a^2$

$r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) - 2ar \cos \theta + a^2 = a^2$

$r^2 - 2ar \cos \theta = 0$

$r(r - 2a \cos \theta) = 0$

$r = 0$ または $r - 2a \cos \theta = 0$

$r = 0$ は $r = 2a \cos \theta$ に含まれるため、$r = 2a \cos \theta$

3. 最終的な答え

(1) $r^2 = \sec 2\theta$

(2) $r = 2(\cos \theta - \sin \theta)$

(3) $r = 2a \cos \theta$