放物線 $y = x^2$ と直線 $y = x + 2$ の交点をA, Bとする。点Pは放物線 $y = x^2$ 上を動く点とする。三角形OABと三角形PABの面積が等しくなるような点Pの座標をすべて求めよ。ただし、点Pは原点Oとは異なる点とする。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = x + 2$ の交点をA, Bとする。点Pは放物線 $y = x^2$ 上を動く点とする。三角形OABと三角形PABの面積が等しくなるような点Pの座標をすべて求めよ。ただし、点Pは原点Oとは異なる点とする。

2. 解き方の手順

(1) まず、放物線 $y = x^2$ と直線 $y = x + 2$ の交点A, Bの座標を求める。

$x^2 = x + 2$を解くと、$x^2 - x - 2 = 0$。

$(x - 2)(x + 1) = 0$より、$x = 2, -1$。

よって、Aの座標は$(-1, 1)$、Bの座標は$(2, 4)$。

(2) 次に、三角形OABと三角形PABの面積が等しくなる条件を考える。

2つの三角形の面積が等しいということは、ABを底辺としたときの高さが等しいことを意味する。

つまり、点Pは直線ABと平行な直線上にある必要がある。

直線ABの傾きは$\frac{4-1}{2-(-1)} = \frac{3}{3} = 1$。

したがって、点Pを通る直線ABと平行な直線は、$y = x + k$と表せる。

点Pは放物線上にあるので、$x^2 = x + k$が成り立つ。

2つの三角形OABとPABの面積が等しくなるのは、点Pが直線ABと平行な直線上にある場合である。

点Oは原点なので、OとPが直線ABに関して同じ側にある場合、線分ABの中点とPの中点が原点になる場合を考える。

平行な直線との距離が等しい場合は、直線ABに対して点Oと対称な点を通る場合を考えればよい。

点Pは放物線 $y=x^2$ 上にあるので、$x^2 = x + k$となる。

三角形OABの面積を求めると、A(-1, 1), B(2, 4)なので、

$\frac{1}{2}|(-1)(4) - (1)(2)| = \frac{1}{2}|-4 - 2| = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$。

P(x, x^2)とすると、$\triangle PAB = \frac{1}{2} |(x-2)(1-4) - (x^2-4)(-1-2)|$

$= \frac{1}{2} |(x-2)(-3) - (x^2-4)(-3)|$

$= \frac{3}{2} |-(x-2) + (x^2-4)|$

$= \frac{3}{2} |x^2 - x - 2|$

$= \frac{3}{2} |(x-2)(x+1)|$

$\triangle OAB = \triangle PAB$なので、$\frac{3}{2}|(x-2)(x+1)| = 3$

$|(x-2)(x+1)| = 2$

$x^2 - x - 2 = 2$ または $x^2 - x - 2 = -2$

$x^2 - x - 4 = 0$ または $x^2 - x = 0$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$ または $x(x-1) = 0$ より $x = 0, 1$

$x = 0$は原点なので不適。

したがって、$x = 1$のとき、$y = 1^2 = 1$なので、P(1, 1)。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$のとき、$y = (\frac{1 \pm \sqrt{17}}{2})^2 = \frac{1 \pm 2\sqrt{17} + 17}{4} = \frac{18 \pm 2\sqrt{17}}{4} = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2}$

よって、P(1, 1), $(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{9 + \sqrt{17}}{2}), (\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{9 - \sqrt{17}}{2})$。

3. 最終的な答え

Pの座標は、(1, 1), $(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{9 + \sqrt{17}}{2})$, $(\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{9 - \sqrt{17}}{2})$。