直線 $4x + 3y - 5 = 0$ が与えられた円によって切り取られる線分の長さと、線分の中点の座標を求める問題です。 (1) 円の方程式は $x^2 + y^2 = 4$ (2) 円の方程式は $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 1 = 0$

1. 問題の内容

直線 $4x + 3y - 5 = 0$ が与えられた円によって切り取られる線分の長さと、線分の中点の座標を求める問題です。

(1) 円の方程式は $x^2 + y^2 = 4$

(2) 円の方程式は $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 1 = 0$

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $4x + 3y - 5 = 0$ の交点を求めます。

直線の方程式を $y$ について解くと、$y = \frac{5 - 4x}{3}$ となります。

これを円の方程式に代入すると、

$x^2 + (\frac{5 - 4x}{3})^2 = 4$

$x^2 + \frac{25 - 40x + 16x^2}{9} = 4$

$9x^2 + 25 - 40x + 16x^2 = 36$

$25x^2 - 40x - 11 = 0$

この2次方程式の解を $x_1, x_2$ とすると、解と係数の関係より、$x_1 + x_2 = \frac{40}{25} = \frac{8}{5}$, $x_1x_2 = \frac{-11}{25}$となります。

$y_1 = \frac{5 - 4x_1}{3}, y_2 = \frac{5 - 4x_2}{3}$

線分の中点の座標を $(X, Y)$ とすると、

$X = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{4}{5}$

$Y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{\frac{5 - 4x_1}{3} + \frac{5 - 4x_2}{3}}{2} = \frac{10 - 4(x_1 + x_2)}{6} = \frac{10 - 4(\frac{8}{5})}{6} = \frac{50 - 32}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

線分の長さ $L$ は $L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ であり、

$(x_2 - x_1)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = (\frac{8}{5})^2 - 4(\frac{-11}{25}) = \frac{64}{25} + \frac{44}{25} = \frac{108}{25}$

$(y_2 - y_1)^2 = (\frac{5 - 4x_2}{3} - \frac{5 - 4x_1}{3})^2 = (\frac{-4(x_2 - x_1)}{3})^2 = \frac{16}{9}(x_2 - x_1)^2 = \frac{16}{9} \times \frac{108}{25} = \frac{16 \times 12}{25} = \frac{192}{25}$

$L = \sqrt{\frac{108}{25} + \frac{192}{25}} = \sqrt{\frac{300}{25}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

(2) 円 $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 1 = 0$ は $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 6$ と変形できます。中心 $(-2, 1)$、半径 $\sqrt{6}$ の円です。

円の中心から直線までの距離 $d$ は、

$d = \frac{|4(-2) + 3(1) - 5|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-8 + 3 - 5|}{5} = \frac{|-10|}{5} = 2$

線分の長さの半分を $l$ とすると、$l = \sqrt{(\sqrt{6})^2 - 2^2} = \sqrt{6 - 4} = \sqrt{2}$

線分の長さは $2l = 2\sqrt{2}$

線分の中点は、中心 $(-2, 1)$ から直線に下ろした垂線の足です。

垂線の方程式は $3x - 4y + k = 0$ で、これが $(-2, 1)$ を通るので、

$3(-2) - 4(1) + k = 0$

$-6 - 4 + k = 0$

$k = 10$

垂線の方程式は $3x - 4y + 10 = 0$

直線 $4x + 3y - 5 = 0$ との交点を求めます。

$4x + 3y = 5$

$3x - 4y = -10$

$16x + 12y = 20$

$9x - 12y = -30$

$25x = -10$

$x = -\frac{2}{5}$

$3y = 5 - 4x = 5 - 4(-\frac{2}{5}) = 5 + \frac{8}{5} = \frac{33}{5}$

$y = \frac{11}{5}$

線分の中点の座標は $(-\frac{2}{5}, \frac{11}{5})$

3. 最終的な答え

(1) 線分の長さ: $2\sqrt{3}$ 、線分の中点の座標: $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

(2) 線分の長さ: $2\sqrt{2}$ 、線分の中点の座標: $(-\frac{2}{5}, \frac{11}{5})$