三角形ABCにおいて、$BC=a$, $CA=b$, $AB=\sqrt{10}$である。辺ABを4:3に内分する点をD、辺BCを1:2に内分する点をEとする。2直線AE, CDの交点をKとする。 (1) $\vec{AK}$を$\vec{AB}$, $\vec{AC}$で表せ。 (2) 内積$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$を$a$, $b$の式で表せ。 (3) 点Kが三角形ABCの外心となるとき、$a$, $b$の値を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC=a$, $CA=b$, $AB=\sqrt{10}$である。辺ABを4:3に内分する点をD、辺BCを1:2に内分する点をEとする。2直線AE, CDの交点をKとする。

(1) $\vec{AK}$を$\vec{AB}$, $\vec{AC}$で表せ。

(2) 内積$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$を$a$, $b$の式で表せ。

(3) 点Kが三角形ABCの外心となるとき、$a$, $b$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点Kが直線AE上にあることから、実数sを用いて$\vec{AK} = s \vec{AE}$と表せる。また、$\vec{AE} = \vec{AC} + \vec{CE} = \vec{AC} + \frac{2}{3}\vec{CB} = \vec{AC} + \frac{2}{3}(\vec{AB} - \vec{AC}) = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$である。

したがって、

$\vec{AK} = s (\frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}) = \frac{2s}{3} \vec{AB} + \frac{s}{3} \vec{AC}$

次に、点Kが直線CD上にあることから、実数tを用いて$\vec{AK} = t \vec{AD} + (1-t) \vec{AC}$と表せる。また、$\vec{AD} = \frac{4}{7}\vec{AB}$である。

したがって、

$\vec{AK} = t (\frac{4}{7}\vec{AB}) + (1-t) \vec{AC} = \frac{4t}{7} \vec{AB} + (1-t) \vec{AC}$

$\vec{AB}$と$\vec{AC}$は一次独立なので、係数を比較して、

$\frac{2s}{3} = \frac{4t}{7}$

$\frac{s}{3} = 1-t$

この連立方程式を解く。

$2s = \frac{12t}{7}$

$s = 3 - 3t$

$2(3-3t) = \frac{12t}{7}$

$6 - 6t = \frac{12t}{7}$

$42 - 42t = 12t$

$42 = 54t$

$t = \frac{42}{54} = \frac{7}{9}$

$s = 3 - 3(\frac{7}{9}) = 3 - \frac{7}{3} = \frac{2}{3}$

よって、

$\vec{AK} = \frac{2}{3} (\frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}) = \frac{4}{9}\vec{AB} + \frac{2}{9}\vec{AC}$

(2)

余弦定理より、$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC \cdot BC \cos{\angle{ACB}}$

$(\sqrt{10})^2 = b^2 + a^2 - 2ab \cos{\angle{ACB}}$

$10 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{\angle{ACB}}$

内積$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos{\angle{BAC}} = \sqrt{10} b \cos{\angle{BAC}}$

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$ より、 $BC^2 = (\vec{AC} - \vec{AB}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = AC^2 + AB^2 - 2 \vec{AC} \cdot \vec{AB}$

$a^2 = b^2 + 10 - 2 \vec{AC} \cdot \vec{AB}$

$2 \vec{AC} \cdot \vec{AB} = b^2 + 10 - a^2$

$\vec{AC} \cdot \vec{AB} = \frac{b^2 - a^2 + 10}{2}$

(3)

点Kが外心であるとき、|$\vec{AK}$| = |$\vec{BK}$| = |$\vec{CK}$|

$|\vec{AK}|^2 = |\frac{4}{9}\vec{AB} + \frac{2}{9}\vec{AC}|^2 = (\frac{4}{9})^2 |\vec{AB}|^2 + 2 (\frac{4}{9})(\frac{2}{9}) \vec{AB} \cdot \vec{AC} + (\frac{2}{9})^2 |\vec{AC}|^2 = \frac{16}{81} (10) + \frac{16}{81} (\frac{b^2-a^2+10}{2}) + \frac{4}{81} b^2 = \frac{160}{81} + \frac{8b^2 - 8a^2 + 80}{81} + \frac{4b^2}{81} = \frac{12b^2 - 8a^2 + 240}{81}$

$|\vec{BK}|^2 = |\vec{AK} - \vec{AB}|^2 = |-\frac{5}{9}\vec{AB} + \frac{2}{9}\vec{AC}|^2 = (\frac{25}{81}) (10) + 2 (-\frac{5}{9})(\frac{2}{9}) (\frac{b^2 - a^2 + 10}{2}) + (\frac{4}{81}) b^2 = \frac{250}{81} - \frac{10}{81} (\frac{b^2-a^2+10}{2}) + \frac{4b^2}{81} = \frac{250}{81} - \frac{5b^2 - 5a^2 + 50}{81} + \frac{4b^2}{81} = \frac{-b^2 + 5a^2 + 200}{81}$

$|\vec{CK}|^2 = |\vec{AK} - \vec{AC}|^2 = |\frac{4}{9}\vec{AB} - \frac{7}{9}\vec{AC}|^2 = (\frac{16}{81}) (10) + 2 (\frac{4}{9})(-\frac{7}{9}) (\frac{b^2 - a^2 + 10}{2}) + (\frac{49}{81}) b^2 = \frac{160}{81} - \frac{28}{81} (\frac{b^2-a^2+10}{2}) + \frac{49b^2}{81} = \frac{160}{81} - \frac{14b^2 - 14a^2 + 140}{81} + \frac{49b^2}{81} = \frac{35b^2 + 14a^2 + 20}{81}$

$12b^2 - 8a^2 + 240 = -b^2 + 5a^2 + 200$

$13b^2 - 13a^2 + 40 = 0$

$13b^2 - 13a^2 + 40 = 35b^2 + 14a^2 + 20$

$22b^2 + 27a^2 = 20$

$b^2 - a^2 = -\frac{40}{13}$

$22b^2 + 27a^2 = 20$

$22(a^2 - \frac{40}{13}) + 27a^2 = 20$

$22a^2 - \frac{880}{13} + 27a^2 = 20$

$49a^2 = 20 + \frac{880}{13} = \frac{260+880}{13} = \frac{1140}{13}$

$a^2 = \frac{1140}{49 \cdot 13} = \frac{1140}{637}$

$b^2 = a^2 - \frac{40}{13} = \frac{1140}{637} - \frac{40}{13} = \frac{1140 - 40(49)}{637} = \frac{1140 - 1960}{637} = \frac{-820}{637}$

これは矛盾

$\frac{12b^2-8a^2+240}{81} = \frac{35b^2+14a^2+20}{81}$

$12b^2 - 8a^2 + 240 = 35b^2 + 14a^2 + 20$

$23b^2 + 22a^2 = 220$

$-b^2+5a^2+200 = 35b^2+14a^2+20$

$36b^2 + 9a^2 = 180$

$4b^2 + a^2 = 20$

$23b^2 + 22(20-4b^2) = 220$

$23b^2 + 440 - 88b^2 = 220$

$65b^2 = 220$

$b^2 = \frac{220}{65} = \frac{44}{13}$

$b = 2 \sqrt{\frac{11}{13}} = \frac{2 \sqrt{143}}{13}$

$a^2 = 20 - 4b^2 = 20 - 4(\frac{44}{13}) = 20 - \frac{176}{13} = \frac{260 - 176}{13} = \frac{84}{13}$

$a = 2\sqrt{\frac{21}{13}} = \frac{2\sqrt{273}}{13}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AK} = \frac{4}{9}\vec{AB} + \frac{2}{9}\vec{AC}$

(2) $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{b^2 - a^2 + 10}{2}$

(3) $a = \frac{2\sqrt{273}}{13}$, $b = \frac{2\sqrt{143}}{13}$