2つの直線がなす鋭角$\alpha$を求める問題です。 (1) $\sqrt{3}x + y - 2 = 0$と$\sqrt{3}x - y - 4 = 0$ (2) $2x - 3y + 1 = 0$と$x + 5y - 3 = 0$

1. 問題の内容

2つの直線がなす鋭角$\alpha$を求める問題です。

(1) $\sqrt{3}x + y - 2 = 0$と$\sqrt{3}x - y - 4 = 0$

(2) $2x - 3y + 1 = 0$と$x + 5y - 3 = 0$

2. 解き方の手順

2直線のなす角$\theta$は、それぞれの直線の傾きを$m_1, m_2$とすると、

$$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$$

で求められます。鋭角を求めたいので、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$の範囲で考えます。

(1)

$\sqrt{3}x + y - 2 = 0$を変形すると、$y = -\sqrt{3}x + 2$なので、傾き$m_1 = -\sqrt{3}$

$\sqrt{3}x - y - 4 = 0$を変形すると、$y = \sqrt{3}x - 4$なので、傾き$m_2 = \sqrt{3}$

$$\tan \theta = \left| \frac{-\sqrt{3} - \sqrt{3}}{1 + (-\sqrt{3})(\sqrt{3})} \right| = \left| \frac{-2\sqrt{3}}{1 - 3} \right| = \left| \frac{-2\sqrt{3}}{-2} \right| = \sqrt{3}$$

$\tan \theta = \sqrt{3}$となる$\theta$は、$\theta = \frac{\pi}{3}$ (60度) です。

したがって、$\alpha = \frac{\pi}{3}$

(2)

$2x - 3y + 1 = 0$を変形すると、$3y = 2x + 1$より、$y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$なので、傾き$m_1 = \frac{2}{3}$

$x + 5y - 3 = 0$を変形すると、$5y = -x + 3$より、$y = -\frac{1}{5}x + \frac{3}{5}$なので、傾き$m_2 = -\frac{1}{5}$

$$\tan \theta = \left| \frac{\frac{2}{3} - (-\frac{1}{5})}{1 + (\frac{2}{3})(-\frac{1}{5})} \right| = \left| \frac{\frac{10+3}{15}}{1 - \frac{2}{15}} \right| = \left| \frac{\frac{13}{15}}{\frac{13}{15}} \right| = 1$$

$\tan \theta = 1$となる$\theta$は、$\theta = \frac{\pi}{4}$ (45度) です。

したがって、$\alpha = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = \frac{\pi}{3}$

(2) $\alpha = \frac{\pi}{4}$