* (1) 対角線の本数を求める。 * (2) 頂点のうち3つを選んでできる三角形の個数を求める。 * (3) (2)で求めた三角形のうち、正十角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求める。

## 問題の回答

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1. 問題の内容

1. 正十角形に関する問題

* (1) 対角線の本数を求める。

* (2) 頂点のうち3つを選んでできる三角形の個数を求める。

* (3) (2)で求めた三角形のうち、正十角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求める。

2. 8個の文字 J, A, P, A, N, E, S, E を並べる順列に関する問題

* (1) 異なる並べ方の総数を求める。

* (2) J が P より左、かつ P が N より左にあるような並べ方の数を求める。

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2. 解き方の手順

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1. 正十角形の問題**

(1) 対角線の本数

正 $n$ 角形の対角線の本数は $\frac{n(n-3)}{2}$ で求められます。

したがって、正十角形の対角線の本数は

$\frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \times 7}{2} = 35$ 本です。

(2) 頂点のうち3つを選んでできる三角形の個数

正十角形の10個の頂点から3個を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは $_{10}C_3$ で計算できます。

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ 個です。

(3) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の個数

正十角形の1つの辺を固定すると、その辺と頂点を共有しない頂点は $10 - 4 = 6$ 個あります。

したがって、1つの辺に対して6つの三角形ができます。

正十角形には10個の辺があるので、 $6 \times 10 = 60$ 個の三角形が存在します。

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2. 文字の順列の問題**

(1) 異なる並べ方の総数

8個の文字の中に A が2個、E が2個あります。したがって、すべての並べ方は以下のようになります。

$\frac{8!}{2!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 6 = 10080$ 通りです。

(2) J が P より左、かつ P が N より左にあるような並べ方の数

J, P, N の位置関係のみを考えると、J, P, N は $3! = 6$ 通りの順列で並べることができます。

J が P より左、かつ P が N より左にあるのは JPN の順のみなので、全体の $\frac{1}{6}$ となります。

したがって、求める並べ方の数は $\frac{10080}{6} = 1680$ 通りです。

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3. 最終的な答え

1. 正十角形の問題

* (1) 対角線の本数: 35本

* (2) 三角形の個数: 120個

* (3) 1辺だけを共有する三角形の個数: 60個

2. 文字の順列の問題

* (1) 異なる並べ方: 10080通り

* (2) JPNの条件を満たす並べ方: 1680通り