直線 $y = x + 1$ とのなす角が $\frac{\pi}{3}$ である直線で、原点を通るものの式を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $y = x + 1$ とのなす角が $\frac{\pi}{3}$ である直線で、原点を通るものの式を求める問題です。

2. 解き方の手順

求める直線を $y = mx$ とおく。(原点を通るので切片は0)

直線 $y=x+1$ の傾きは $1$ なので、$\tan \theta = 1$を満たす$\theta$は $\frac{\pi}{4}$。

直線 $y = mx$ と $y = x + 1$ のなす角が $\frac{\pi}{3}$ なので、2直線のなす角の公式を用いると、

$|\tan(\frac{\pi}{4} - \arctan(m))| = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

$\tan(\frac{\pi}{4} - \arctan(m)) = \frac{\tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(\arctan(m))}{1 + \tan(\frac{\pi}{4}) \tan(\arctan(m))} = \frac{1 - m}{1 + m}$

したがって、

$|\frac{1-m}{1+m}| = \sqrt{3}$

2つの場合が考えられます。

(i) $\frac{1-m}{1+m} = \sqrt{3}$ の場合

$1-m = \sqrt{3}(1+m)$

$1 - m = \sqrt{3} + \sqrt{3}m$

$1 - \sqrt{3} = m(1 + \sqrt{3})$

$m = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1 - \sqrt{3})^2}{1 - 3} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{-2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = -2 + \sqrt{3}$

(ii) $\frac{1-m}{1+m} = -\sqrt{3}$ の場合

$1-m = -\sqrt{3}(1+m)$

$1 - m = -\sqrt{3} - \sqrt{3}m$

$1 + \sqrt{3} = m(1 - \sqrt{3})$

$m = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{1 - 3} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{-2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

求める直線は、 $y = (-2 + \sqrt{3})x$ と $y = (-2 - \sqrt{3})x$ です。