三角形ABCの内部に点Pがあり、$6\vec{PA}+3\vec{PB}+2\vec{PC}=\vec{0}$を満たしている。 (1) 点Pはどのような位置にあるか。 (2) $\triangle PAB, \triangle PBC, \triangle PCA$ の面積の比を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCの内部に点Pがあり、$6\vec{PA}+3\vec{PB}+2\vec{PC}=\vec{0}$を満たしている。

(1) 点Pはどのような位置にあるか。

(2) $\triangle PAB, \triangle PBC, \triangle PCA$ の面積の比を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた式を変形して、点Pの位置ベクトルを求めます。

$6\vec{PA}+3\vec{PB}+2\vec{PC}=\vec{0}$ を変形します。

基準点をAとして、$\vec{PA}=\vec{AA}-\vec{AP}=-\vec{AP}, \vec{PB}=\vec{AB}-\vec{AP}, \vec{PC}=\vec{AC}-\vec{AP}$ を代入します。

$-6\vec{AP}+3(\vec{AB}-\vec{AP})+2(\vec{AC}-\vec{AP})=\vec{0}$

$-6\vec{AP}+3\vec{AB}-3\vec{AP}+2\vec{AC}-2\vec{AP}=\vec{0}$

$11\vec{AP}=3\vec{AB}+2\vec{AC}$

$\vec{AP}=\frac{3\vec{AB}+2\vec{AC}}{11}$

$\vec{AP}=\frac{5}{11} \cdot \frac{3\vec{AB}+2\vec{AC}}{5}$

ここで、点Dを線分BC上に $\vec{AD}=\frac{3\vec{AB}+2\vec{AC}}{5}$ となるようにとると、

BD:DC=2:3となる。

$\vec{AP}=\frac{5}{11}\vec{AD}$ となるので、点Pは線分ADを5:6に内分する点。

(2)

$\triangle PAB, \triangle PBC, \triangle PCA$ の面積の比を求めます。

面積比は、ベクトルで考えると、

$\triangle PAB = \frac{1}{2} | \vec{PA} \times \vec{PB} |$

$\triangle PBC = \frac{1}{2} | \vec{PB} \times \vec{PC} |$

$\triangle PCA = \frac{1}{2} | \vec{PC} \times \vec{PA} |$

$6\vec{PA}+3\vec{PB}+2\vec{PC}=\vec{0}$ より、$6\triangle PAB + 3\triangle PBC + 2\triangle PCA = \triangle ABC$

$\vec{AP}=\frac{3\vec{AB}+2\vec{AC}}{11}$

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 6:2:3$

$\triangle PAB = \frac{1}{2} | \vec{AB} \times \vec{AP} | = \frac{1}{2} | \vec{AB} \times \frac{3\vec{AB}+2\vec{AC}}{11} | = \frac{1}{11} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

$\triangle PBC = \frac{6}{11} \triangle ABC, \triangle PCA = \frac{2}{11} \triangle ABC, \triangle PAB = \frac{3}{11} \triangle ABC$

$\vec{AP}=\frac{5}{11}\vec{AD}$ より、

$\triangle ABP = \frac{AP}{AD} \triangle ABD = \frac{5}{11} \triangle ABD$

$\triangle ACP = \frac{AP}{AD} \triangle ACD = \frac{5}{11} \triangle ACD$

$\triangle ABD = \frac{2}{5} \triangle ABC$

$\triangle ACD = \frac{3}{5} \triangle ABC$

$\triangle ABP : \triangle ACP = \frac{2}{11} \triangle ABC : \frac{3}{11} \triangle ABC = 2:3$

$\triangle BCP = \triangle ABC - \triangle ABP - \triangle ACP = \triangle ABC - \frac{2}{11}\triangle ABC - \frac{3}{11} \triangle ABC = \frac{6}{11} \triangle ABC$

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 6:2:3$

3. 最終的な答え

(1) 点Pは、線分BCを2:3に内分する点をDとするとき、線分ADを5:6に内分する点である。

(2) $\triangle PAB : \triangle PBC : \triangle PCA = 3:6:2$