縦の長さが $p$ 、横の長さが $q$ の長方形と、直径が $p$ の半円2つを組み合わせた花壇の周りに、幅 $a$ の道がついている。道の面積を $S$ 、道の真ん中を通る線の長さを $l$ とするとき、$S=al$ となることを証明する。 (1) 道の面積 $S$ を $a, p, q$ を使って表す。 (2) 道の真ん中を通る線の長さ $l$ を $a, p, q$ を使って表す。 (3) $S = al$ となることを証明する。

1. 問題の内容

縦の長さが $p$ 、横の長さが $q$ の長方形と、直径が $p$ の半円2つを組み合わせた花壇の周りに、幅 $a$ の道がついている。道の面積を $S$ 、道の真ん中を通る線の長さを $l$ とするとき、$S=al$ となることを証明する。

(1) 道の面積 $S$ を $a, p, q$ を使って表す。

(2) 道の真ん中を通る線の長さ $l$ を $a, p, q$ を使って表す。

(3) $S = al$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 道の面積 $S$ を求める。外側の図形の面積から内側の図形の面積を引く。

外側の図形は、縦 $p + 2a$、横 $q + 2a$ の長方形と、直径 $p + 2a$ の半円2つを組み合わせたもの。

内側の図形は、縦 $p$、横 $q$ の長方形と、直径 $p$ の半円2つを組み合わせたもの。

外側の長方形の面積は $(p + 2a)(q + 2a) = pq + 2ap + 2aq + 4a^2$

外側の半円2つの面積は $\pi (\frac{p+2a}{2})^2 = \pi \frac{(p+2a)^2}{4} = \frac{\pi}{4}(p^2 + 4ap + 4a^2)$

内側の長方形の面積は $pq$

内側の半円2つの面積は $\pi (\frac{p}{2})^2 = \frac{\pi}{4}p^2$

$S = (pq + 2ap + 2aq + 4a^2 + \frac{\pi}{4}(p^2 + 4ap + 4a^2)) - (pq + \frac{\pi}{4}p^2)$

$S = pq + 2ap + 2aq + 4a^2 + \frac{\pi}{4}p^2 + \pi ap + \pi a^2 - pq - \frac{\pi}{4}p^2$

$S = 2ap + 2aq + 4a^2 + \pi ap + \pi a^2$

$S = 2a(p+q) + a^2(4 + \pi) + \pi a p$

(2) 道の真ん中を通る線の長さ $l$ を求める。

長方形の部分は、縦が $p$、横が $q$ なので、$2q$ 。

半円の部分は、直径が $p$ なので、$\pi p$。

道の真ん中の長方形の縦は $p+a$で、横は$q+a$

$l = 2(q+a) + \pi(\frac{p+2a}{2}) = 2q+2a + \frac{\pi}{2}(p+2a) = 2q + 2a + \frac{\pi}{2} p + \pi a$

$l = 2q + \pi \frac{p}{2} + 2a + \pi a$

$l = 2q + \frac{\pi p}{2} + a(2 + \pi)$

(3) $S = al$ を証明する。

道の真ん中の線に沿って図形を切って広げると、幅が $a$ 、長さが $l$ の長方形になる。

したがって、$S = al$

$S = a(2q + \frac{\pi p}{2} + a(2 + \pi)) = 2aq + \frac{\pi a p}{2} + 2a^2 + \pi a^2$

上記(1)から $S = 2a(p+q) + a^2(4 + \pi) + \pi a p = 2ap + 2aq + 4a^2 + \pi a^2 + \pi a p$

$al = a(2q + \frac{\pi p}{2} + a(2 + \pi)) = 2aq + \frac{\pi ap}{2} + a(2a+\pi a)$

上記(2)より、$l = 2q + \frac{\pi p}{2} + (2+\pi)a$ であるから、$S = al = a(2q + \frac{\pi p}{2} + (2+\pi)a) = 2aq + \frac{\pi ap}{2} + 2a^2 + \pi a^2$

長方形の部分の道の真ん中の線の長さ $2q + 2a$, 半円の部分の道の真ん中の線の長さ $\pi \frac{p+2a}{2}$

$l = 2(q+a) + \pi \frac{p+2a}{2} = 2q + 2a + \frac{\pi p}{2} + \pi a = 2q + \frac{\pi p}{2} + a(2+\pi)$

したがって、$S = a l = a (2q + \pi \frac{p}{2} + a(2+\pi)) = 2aq + \frac{\pi ap}{2} + 2a^2 + \pi a^2 = 2a(p+q) + \frac{\pi a p}{2}$

$S=2a(q+p)+4a^2+\pi pa + \pi a^2 = 2a(q+p)+a^2(4+\pi) + \pi pa$

$l=2q+ \pi \frac{p}{2} + a(2+\pi)$

$al=a(2q+ \pi \frac{p}{2} + a(2+\pi))=2aq+ \frac{\pi pa}{2}+2a^2+ \pi a^2$

$al\neq S$

$l = 2q + \pi p / 2 + (2+\pi) a$ なので、$al = 2aq + \pi ap/2 + (2+\pi) a^2$. 一方 $S = 2a(p+q) + a^2(4+\pi) + ap\pi = 2ap + 2aq + 4a^2 + \pi a^2 + ap \pi$, これは異なる。

3. 最終的な答え

(1) $S = 2a(p+q) + a^2(4 + \pi) + \pi a p$

(2) $l = 2q + \frac{\pi p}{2} + (2+\pi)a$

(3) $S = al$ となることを証明する。

$S = al = 2aq + \frac{\pi a p}{2} + 2a^2 + \pi a^2$とはならないため、問題文の条件では成り立たない。

もし、問題文に何か間違いがあるか、あるいは計算ミスがある可能性が考えられます。