半径 $r$ の円形の花壇の周りに、幅 $a$ の道がついている。道の面積を $S$ 、道の真ん中を通る円周の長さを $l$ とするとき、$S = al$ となることを証明する。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円形の花壇の周りに、幅 $a$ の道がついている。道の面積を $S$ 、道の真ん中を通る円周の長さを $l$ とするとき、$S = al$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を求める。道の外側の円の半径は $r+a$ なので、道の面積 $S$ は、外側の円の面積から花壇の面積を引いたものとなる。

$S = \pi (r+a)^2 - \pi r^2$

$S = \pi (r^2 + 2ar + a^2) - \pi r^2$

$S = \pi r^2 + 2\pi ar + \pi a^2 - \pi r^2$

$S = 2\pi ar + \pi a^2$

次に、道の真ん中を通る円周の長さ $l$ を求める。道の真ん中を通る円の半径は $r + \frac{a}{2}$ なので、$l$ は次のようになる。

$l = 2\pi (r + \frac{a}{2})$

$l = 2\pi r + \pi a$

最後に、$al$ を計算する。

$al = a(2\pi r + \pi a)$

$al = 2\pi ar + \pi a^2$

したがって、$S = al$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$S = \pi(r+a)^2 - \pi r^2 = 2\pi ar + \pi a^2$

$l = 2\pi(r+\frac{a}{2}) = 2\pi r + \pi a$

$al = a(2\pi r + \pi a) = 2\pi ar + \pi a^2$

よって、$S = al$ が証明された。