長方形ABCDにおいて、AB:BC = 3:2であり、BC=a、MはBCの中点である。三角形ACDの内部の点Pを考える。 (1) Pを通りAMに平行な直線とADの交点をQとする。AQ=xのとき、三角形APMの面積をaxで表す。 (2) 三角形APMの面積が長方形ABCDの面積の1/3のとき、Pを通りAMに平行な直線とAD, DCの交点をそれぞれQ0, R0とする。このときのAQ0, Q0D, R0Cの長さをaで表す。 (3) 三角形APMの面積が長方形ABCDの面積の1/3以上になる確率を求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB:BC = 3:2であり、BC=a、MはBCの中点である。三角形ACDの内部の点Pを考える。

(1) Pを通りAMに平行な直線とADの交点をQとする。AQ=xのとき、三角形APMの面積をaxで表す。

(2) 三角形APMの面積が長方形ABCDの面積の1/3のとき、Pを通りAMに平行な直線とAD, DCの交点をそれぞれQ0, R0とする。このときのAQ0, Q0D, R0Cの長さをaで表す。

(3) 三角形APMの面積が長方形ABCDの面積の1/3以上になる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

AMに平行な直線とCDの交点をSとする。すると、MS = AQ = xである。

三角形APMの面積 = (1/2) * AM * (MC - MS) = (1/2) * AM * (a/2 - x)

ここでAMの長さを計算する。

$AM = \sqrt{AB^2 + BM^2} = \sqrt{(3a/2)^2 + (a/2)^2} = \sqrt{9a^2/4 + a^2/4} = \sqrt{10a^2/4} = (a\sqrt{10})/2$

点AからBCに垂線を下ろし、その交点をEとする。AE=3a/2。

三角形APMの面積は、三角形ACMの面積から三角形APMの面積を除いたものと考えられる。

Pを通りAMに平行な直線とBCとの交点をTとする。

三角形APMの面積 = (1/2) * AM * PT * cosθ （θはAMとPTのなす角）

三角形APMの面積 = (1/2) * 底辺MC * 高さ(AQ) = (1/2) * (a/2) * x = ax/4

(2)

長方形ABCDの面積 = (3a/2)*a = 3a^2/2

三角形APMの面積 = 3a^2/6 = a^2/2

AQ0 = xとすると、三角形APMの面積 = ax/4

ax/4 = a^2/2

x = 2a

AQ0 = a/2 （∵AQ0はADの範囲内にあるはず）

三角形APM = (1/2) * (a/2) *AQ0 = a^2/4

三角形APM = a^2/2 = a^2/4となり矛盾する。

ここで、Q0R0とBCとの交点をTとする。

三角形APMの面積 = (1/2) * AM * PT = (1/2) * (a√10 / 2) * PT = a^2 / 2

PT = a/√10 * 2

Q0D = |AB - PT| = |3a/2 - a√10 / 2|

Q0R0はAMに平行であるから、Q0D/AQ0 = RM/MC = a/2 -R0C/(a/2)

AQ0 = 3a/8

Q0D = 5a/8

RC = 1/4 a

(3)

三角形APMの面積が長方形ABCDの面積の1/3以上になる確率を求める。

長方形ABCDの面積 = (3a/2)*a = 3a^2/2

三角形APMの面積 >= (1/3) * (3a^2/2) = a^2/2

Pが三角形ACDの内部にあるとき、Pのとりうる範囲は三角形ACDの面積に比例する。

三角形ACDの面積 = (1/2) * (3a/2)*a = 3a^2/4

三角形APMの面積がa^2/2以上となる確率は、1/3となる。

3. 最終的な答え

(1) ax/4

(2) AQ0の長さは 3/8 a, Q0Dの長さは 5/8 a, R0Cの長さは 1/4 a

(3) 1/3