問題は2つの部分から構成されています。 (1) 正三角形を底面とする四面体OABCが球Sに内接している場合について、AHの長さと球Sの半径を求める。ここで、OA=OB=OC=2であり、三角形ABCの一辺の長さは1である。 (2) 四面体OABCにおいて、OA=2√5, OB=OC=√5, BC=2√3, AB=AC, ∠AOC=120°であるとき、AC, AD, cos∠AOD, △OADの面積S、OHの長さを求める。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

(1) 正三角形を底面とする四面体OABCが球Sに内接している場合について、AHの長さと球Sの半径を求める。ここで、OA=OB=OC=2であり、三角形ABCの一辺の長さは1である。

(2) 四面体OABCにおいて、OA=2√5, OB=OC=√5, BC=2√3, AB=AC, ∠AOC=120°であるとき、AC, AD, cos∠AOD, △OADの面積S、OHの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

AHの長さは、正三角形ABCの外接円の半径に等しい。正三角形の一辺の長さを$a$とすると、外接円の半径Rは、$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$で求められる。この場合、$a=1$なので、$AH = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。

球Sの中心をO'とすると、O'は線分OH上にある。O'A=O'B=O'C=O'O=球の半径R。三角形O'AHにおいて、$O'A^2 = AH^2 + O'H^2$が成り立つ。ここで、$O'H = |OH - R|$である。三角形OAHにおいて、$OA^2 = AH^2 + OH^2$より、$2^2 = (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + OH^2$。よって、$OH^2 = 4 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$、$OH = \sqrt{\frac{11}{3}} = \frac{\sqrt{33}}{3}$。

$R^2 = (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + (\frac{\sqrt{33}}{3} - R)^2$。

$R^2 = \frac{1}{3} + \frac{33}{9} - \frac{2\sqrt{33}}{3}R + R^2$。

$\frac{2\sqrt{33}}{3}R = \frac{1}{3} + \frac{11}{3} = 4$。

$R = \frac{12}{2\sqrt{33}} = \frac{6}{\sqrt{33}} = \frac{6\sqrt{33}}{33} = \frac{2\sqrt{33}}{11}$。

(2)

$AB = AC$なので、三角形ABCは二等辺三角形である。中線定理より、$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$が成り立つ。$BC = 2\sqrt{3}$なので、$BD = CD = \sqrt{3}$。

$AB = AC$より、$2AC^2 = 2(AD^2 + 3)$。$AC^2 = AD^2 + 3$。

三角形OACにおいて、余弦定理より、$AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2(OA)(OC)cos∠AOC$。

$AC^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2(2\sqrt{5})(\sqrt{5})cos120° = 20 + 5 - 20(-\frac{1}{2}) = 25 + 10 = 35$。

$AC = \sqrt{35}$。

$AD^2 = AC^2 - 3 = 35 - 3 = 32$。

$AD = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$。

三角形OADにおいて、余弦定理より、$OD^2 = OB^2 = 5$。$OA^2 = 20$、$AD^2 = 32$。

$OD^2 = OA^2 + AD^2 - 2(OA)(AD)cos∠OAD$。

$5 = 20 + 32 - 2(2\sqrt{5})(4\sqrt{2})cos∠OAD$。

$2(2\sqrt{5})(4\sqrt{2})cos∠OAD = 47$。

$cos∠OAD = \frac{47}{16\sqrt{10}}$。

$OA^2 = OD^2 + AD^2 - 2(OD)(AD)cos∠ODA$。

$20 = 5 + 32 - 2(\sqrt{5})(4\sqrt{2})cos∠ODA$。

$20 = 37 - 8\sqrt{10}cos∠ODA$。

$8\sqrt{10}cos∠ODA = 17$。

$cos∠ODA = \frac{17}{8\sqrt{10}}$。

$\cos{\angle AOD} = \frac{OA^2 + AD^2 - OD^2}{2(OA)(AD)} = \frac{20 + 32 - 5}{2(2\sqrt{5})(4\sqrt{2})} = \frac{47}{16\sqrt{10}} = \frac{47\sqrt{10}}{160}$。

$\triangle OAD = \frac{1}{2} OA \cdot AD \cdot \sin \angle AOD$

$\sin^2 \angle AOD + cos^2 \angle AOD = 1$

$\sin^2 \angle AOD = 1 - (\frac{47\sqrt{10}}{160})^2 = 1 - \frac{47^2 * 10}{160^2} = 1 - \frac{22090}{25600} = \frac{3510}{25600} = \frac{351}{2560}$

$\sin \angle AOD = \sqrt{\frac{351}{2560}} = \frac{3 \sqrt{390}}{160}$

$S = \frac{1}{2} OA \cdot AD \cdot \sin \angle AOD = \frac{1}{2} (2\sqrt{5}) (4\sqrt{2}) (\frac{3 \sqrt{390}}{160}) = \frac{1}{2} (8 \sqrt{10}) (\frac{3 \sqrt{390}}{160}) = \frac{24 \sqrt{3900}}{320} = \frac{24 (10 \sqrt{39})}{320} = \frac{240 \sqrt{39}}{320} = \frac{3 \sqrt{39}}{4}$

$OH \perp ABC$.

$OH^2 + AH^2 = OA^2$

$AH = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} 4\sqrt{2} = \frac{8 \sqrt{2}}{3}$

$OH^2 = OA^2 - AH^2 = (2\sqrt{5})^2 - (\frac{8\sqrt{2}}{3})^2 = 20 - \frac{64*2}{9} = 20 - \frac{128}{9} = \frac{180-128}{9} = \frac{52}{9}$

$OH = \sqrt{\frac{52}{9}} = \frac{2\sqrt{13}}{3}$.

3. 最終的な答え

(1) $AH = \frac{\sqrt{3}}{3}$。 球Sの半径 = $\frac{2\sqrt{33}}{11}$。

(2) $AC = \sqrt{35}$。 $AD = 4\sqrt{2}$。 $\cos \angle AOD = \frac{47\sqrt{10}}{160}$。 $\triangle OAD$の面積 $S = \frac{3\sqrt{39}}{4}$。 $OH = \frac{2\sqrt{13}}{3}$。