問題1：一辺の長さが1の正三角形ABCを底面とする四面体OABCが球Sに内接している。OA=OB=OC=2とする。頂点Oから三角形ABCに下ろした垂線の足をHとするとき、線分AHの長さと球Sの半径を求めよ。 問題2：四面体OABCにおいて、OA=$2\sqrt{5}$、OB=OC=$\sqrt{5}$、BC=$2\sqrt{3}$、AB=AC, ∠AOC=120°とし、BCの中点をDとする。このとき、AC, AD, cos∠AOD, △OADの面積S、頂点Oから△ABCに下ろした垂線をOHとするとき、OHを求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読んで、解いていきます。

1. 問題の内容

問題1：一辺の長さが1の正三角形ABCを底面とする四面体OABCが球Sに内接している。OA=OB=OC=2とする。頂点Oから三角形ABCに下ろした垂線の足をHとするとき、線分AHの長さと球Sの半径を求めよ。

問題2：四面体OABCにおいて、OA=$2\sqrt{5}$、OB=OC=$\sqrt{5}$、BC=$2\sqrt{3}$、AB=AC, ∠AOC=120°とし、BCの中点をDとする。このとき、AC, AD, cos∠AOD, △OADの面積S、頂点Oから△ABCに下ろした垂線をOHとするとき、OHを求めよ。

2. 解き方の手順

問題1：

正三角形ABCにおいて、AHは正三角形の中心から頂点Aまでの距離である。正三角形の一辺の長さをaとすると、AH = $\frac{\sqrt{3}}{3}a$である。

したがって、AH = $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{3}$

よって、AHの長さは$\frac{\sqrt{3}}{3}$

球Sの中心をO'とする。O'から△ABCへの垂線の足はHとなる。

OA=OB=OC=2なので、O'A=O'B=O'C=R (球の半径)

O'A$^2$ = AH$^2$ + O'H$^2$

$R^2 = (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + (2-R)^2$

$R^2 = \frac{1}{3} + 4 - 4R + R^2$

$4R = \frac{13}{3}$

$R = \frac{13}{12}$

よって、球Sの半径は$\frac{13}{12}$

問題2：

△OBCにおいて、OB=OC=$\sqrt{5}$, BC=$2\sqrt{3}$であるから、

$OD \perp BC$ であり、$BD = DC = \sqrt{3}$

$OD = \sqrt{OB^2 - BD^2} = \sqrt{5-3} = \sqrt{2}$

△OACにおいて余弦定理を用いると、

$AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2OA \cdot OC \cos 120^\circ$

$AC^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2(2\sqrt{5})(\sqrt{5})(-\frac{1}{2})$

$AC^2 = 20 + 5 + 10 = 35$

$AC = \sqrt{35}$

△ABCにおいて、AB=AC=$\sqrt{35}$, BC=$2\sqrt{3}$

ADは△ABCの中線であるから、中線定理より

$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$

$35 + 35 = 2(AD^2 + 3)$

$70 = 2AD^2 + 6$

$2AD^2 = 64$

$AD^2 = 32$

$AD = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

△OADにおいて余弦定理を用いると、

$OD^2 = OA^2 + AD^2 - 2OA \cdot AD \cos \angle OAD$

$OA^2 = OD^2 + AD^2 - 2OD \cdot AD \cos \angle ODA$

$AD = 4\sqrt{2}, OA = 2\sqrt{5}, OD = \sqrt{2}$

$\cos \angle AOD = \frac{OA^2 + OD^2 - AD^2}{2 OA \cdot OD}$

$= \frac{20+2-32}{2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-10}{4\sqrt{10}} = \frac{-5}{2\sqrt{10}} = \frac{-5\sqrt{10}}{20} = -\frac{\sqrt{10}}{4}$

△OADの面積Sは、$S = \frac{1}{2} OA \cdot OD \sin \angle AOD$

$\sin^2 \angle AOD = 1 - \cos^2 \angle AOD = 1 - \frac{10}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

$\sin \angle AOD = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{60}}{4} = \frac{2\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

△ABCの面積は$\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{35 - 3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{3} \cdot 4\sqrt{2} = 4\sqrt{6}$

四面体の体積Vは、$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot OH$

$V = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{6} \cdot OH$

OABCの体積は、Oを頂点として、ABCを底面としたときの高さOHである。

△OBCの面積 = $\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6}$

$OH^2 + AH^2 = OA^2 = 20$

$OH^2 = 20 - \frac{1}{3} = \frac{59}{3}$

$OH = \sqrt{\frac{59}{3}} = \frac{\sqrt{177}}{3}$

3. 最終的な答え

問題1：

線分AHの長さ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

球Sの半径: $\frac{13}{12}$

問題2：

AC: $\sqrt{35}$

AD: $4\sqrt{2}$

cos∠AOD: $-\frac{\sqrt{10}}{4}$

△OADの面積S: $\frac{\sqrt{15}}{2}$

OH: $\frac{\sqrt{177}}{3}$