一辺の長さが1の正四面体ABCDと2点P,Qがあり、$\vec{AP}=2\vec{AC}$、$\vec{BQ}=2\vec{BD}$ を満たしている。$\vec{AB}=\vec{b}$、$\vec{AC}=\vec{c}$、$\vec{AD}=\vec{d}$とするとき、 (1) $\vec{PQ}$を$\vec{b}$、$\vec{c}$、$\vec{d}$を用いて表せ。 (2) 点Rが辺CD上を動くとき、$\triangle PQR$の面積の最小値を求めよ。ただし、内積を使って答えよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体ABCDと2点P,Qがあり、$\vec{AP}=2\vec{AC}$、$\vec{BQ}=2\vec{BD}$ を満たしている。$\vec{AB}=\vec{b}$、$\vec{AC}=\vec{c}$、$\vec{AD}=\vec{d}$とするとき、

(1) $\vec{PQ}$を$\vec{b}$、$\vec{c}$、$\vec{d}$を用いて表せ。

(2) 点Rが辺CD上を動くとき、$\triangle PQR$の面積の最小値を求めよ。ただし、内積を使って答えよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{PQ}$を求めるために、$\vec{AP}$と$\vec{AQ}$を求め、$\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP}$を用いる。

$\vec{AP} = 2\vec{AC} = 2\vec{c}$

$\vec{AQ} = \vec{AB} + \vec{BQ} = \vec{b} + 2\vec{BD} = \vec{b} + 2(\vec{AD} - \vec{AB}) = \vec{b} + 2(\vec{d} - \vec{b}) = 2\vec{d} - \vec{b}$

$\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP} = (2\vec{d} - \vec{b}) - 2\vec{c} = -\vec{b} - 2\vec{c} + 2\vec{d}$

(2) 点Rは辺CD上にあるので、ある実数$t$ ($0 \le t \le 1$)を用いて、$\vec{AR} = (1-t)\vec{AC} + t\vec{AD}$と表せる。すなわち、$\vec{AR} = (1-t)\vec{c} + t\vec{d}$である。

$\vec{PR} = \vec{AR} - \vec{AP} = (1-t)\vec{c} + t\vec{d} - 2\vec{c} = -(t+1)\vec{c} + t\vec{d}$

$\vec{QR} = \vec{AR} - \vec{AQ} = (1-t)\vec{c} + t\vec{d} - (2\vec{d} - \vec{b}) = \vec{b} + (1-t)\vec{c} + (t-2)\vec{d}$

$\triangle PQR$の面積$S$は、

$S = \frac{1}{2} |\vec{PR} \times \vec{QR}|$

$\vec{PR} \times \vec{QR} = (-(t+1)\vec{c} + t\vec{d}) \times (\vec{b} + (1-t)\vec{c} + (t-2)\vec{d})$

$= -(t+1)\vec{c} \times \vec{b} -(t+1)(t-2)\vec{c} \times \vec{d} + t \vec{d} \times \vec{b} + t(1-t)\vec{d} \times \vec{c}$

$= (t+1)\vec{b} \times \vec{c} - (t+1)(t-2)\vec{c} \times \vec{d} - t \vec{b} \times \vec{d} + t(t-1)\vec{c} \times \vec{d}$

$= (t+1)\vec{b} \times \vec{c} - t \vec{b} \times \vec{d} + (-t^2 + 2t -t + 2 + t^2 - t)\vec{c} \times \vec{d}$

$= (t+1)\vec{b} \times \vec{c} - t \vec{b} \times \vec{d} + 2\vec{c} \times \vec{d}$

ここで、$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = \frac{1}{2}$、 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ である。

$|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 - (\vec{b} \cdot \vec{c})^2 = 1^2 \cdot 1^2 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. したがって $|\vec{b} \times \vec{c}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

同様に $|\vec{b} \times \vec{d}| = |\vec{c} \times \vec{d}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

また、$\vec{b} \times \vec{c}$, $\vec{b} \times \vec{d}$, $\vec{c} \times \vec{d}$ は互いに垂直である。

$4S^2 = |(t+1)\vec{b} \times \vec{c} - t \vec{b} \times \vec{d} + 2\vec{c} \times \vec{d}|^2$

$= (t+1)^2 |\vec{b} \times \vec{c}|^2 + t^2 |\vec{b} \times \vec{d}|^2 + 4 |\vec{c} \times \vec{d}|^2$

$= (t^2 + 2t + 1)\frac{3}{4} + t^2 \frac{3}{4} + 4\frac{3}{4} = \frac{3}{4}(2t^2 + 2t + 5)$

$4S^2 = \frac{3}{4}(2(t^2 + t) + 5) = \frac{3}{4}(2(t+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 5) = \frac{3}{4}(2(t+\frac{1}{2})^2 + \frac{9}{2})$

$S^2 = \frac{3}{16}(2(t+\frac{1}{2})^2 + \frac{9}{2})$

$S^2$ が最小になるのは$t = \frac{-1}{2}$のときだが、$0 \le t \le 1$であるので、$t=0$または$t=1$の時に最小になる。

$t=0$のとき、$4S^2 = \frac{3}{4}(5) = \frac{15}{4}$、$S^2 = \frac{15}{16}$、$S = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$t=1$のとき、$4S^2 = \frac{3}{4}(2+2+5) = \frac{3}{4}(9) = \frac{27}{4}$、$S^2 = \frac{27}{16}$、$S = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

よって、$t=0$のとき面積が最小になるので、最小値は$\frac{\sqrt{15}}{4}$.

3. 最終的な答え

(1) $\vec{PQ} = -\vec{b} - 2\vec{c} + 2\vec{d}$

(2) $\frac{\sqrt{15}}{4}$