長方形ABCDにおいて、AB = 8cm、BC = 10cmである。点Pが点Aを出発し、辺AB, BC, CD上を毎秒2cmの速さで点Dまで移動する。点Pが点Aを出発してからx秒後の三角形APDの面積をy $cm^2$とする。 (1) xとyの関係をグラフに表す。 (2) 点Pが点Aを出発してから10秒後の三角形APDの面積を求める。 (3) 三角形APDの面積が25 $cm^2$になるのは何秒後かすべて求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB = 8cm、BC = 10cmである。点Pが点Aを出発し、辺AB, BC, CD上を毎秒2cmの速さで点Dまで移動する。点Pが点Aを出発してからx秒後の三角形APDの面積をy $cm^2$とする。

(1) xとyの関係をグラフに表す。

(2) 点Pが点Aを出発してから10秒後の三角形APDの面積を求める。

(3) 三角形APDの面積が25 $cm^2$になるのは何秒後かすべて求める。

2. 解き方の手順

(1)

- 0 ≤ x ≤ 4 のとき (点PがAB上にあるとき):

AP = 2x なので、三角形APDの面積 y は、

$y = (1/2) * AP * AD = (1/2) * (2x) * 10 = 10x$

- 4 ≤ x ≤ 9 のとき (点PがBC上にあるとき):

三角形APDの面積 y は、

$y = (1/2) * AD * AB = (1/2) * 10 * 8 = 40$

- 9 ≤ x ≤ 13 のとき (点PがCD上にあるとき):

DP = 2(13 - x) = 26 - 2x

三角形APDの面積 y は、

$y = (1/2) * AD * DP = (1/2) * 10 * (26 - 2x) = 5(26 - 2x) = 130 - 10x$

グラフは問題文に与えられているので、上記の式に基づいてグラフを描画する。

(2)

x = 10のとき、点PはCD上にあり、9 ≤ x ≤ 13 なので、$y = 130 - 10x$ に x = 10 を代入する。

$y = 130 - 10 * 10 = 130 - 100 = 30$

(3)

- 0 ≤ x ≤ 4 のとき:

$10x = 25$

$x = 2.5$

- 4 ≤ x ≤ 9 のとき:

$40 = 25$ (これはありえない)

- 9 ≤ x ≤ 13 のとき:

$130 - 10x = 25$

$10x = 105$

$x = 10.5$

3. 最終的な答え

(1) グラフは省略

(2) 30 $cm^2$

(3) 2.5秒後、10.5秒後