円の中に線分AB, CDがあり、その交点をPとする。AP = 2, DP = 4, ∠ACB = 1, ∠ABC = $x$が与えられている。∠ACB = 1 radian のとき、$x$の値を求める。

1. 問題の内容

円の中に線分AB, CDがあり、その交点をPとする。AP = 2, DP = 4, ∠ACB = 1, ∠ABC = $x$が与えられている。∠ACB = 1 radian のとき、$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

円周角の定理より、∠ADB = ∠ACB = 1である。

三角形APDにおいて、∠APD = ∠CPBである(対頂角)。

三角形APDの内角の和は180度なので、∠PAD = 180 - ∠ADP - ∠APD である。

同様に、三角形CPBの内角の和は180度なので、∠BCP = 180 - ∠CBP - ∠CPB である。

方べきの定理より、

$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

$2 \cdot PB = CP \cdot 4$

$PB = 2CP$

三角形ABCにおいて、∠BAC = ∠PADであるから、∠BAC = 180 - 1 - xである。

∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180であるから、

180 - 1 - x + 1 + x = 180

これは常に成り立つ。

円周角の定理より、∠CAB = ∠CDB である。

サイン法則を用いる。

三角形ACPにおいて

$\frac{AP}{\sin (\angle ACP)} = \frac{CP}{\sin (\angle CAP)}$

$\frac{2}{\sin (\angle ACP)} = \frac{CP}{\sin (x)}$

$\sin (\angle ACP) = \frac{2 \sin (x)}{CP}$

三角形BDPにおいて

$\frac{DP}{\sin (\angle PBD)} = \frac{PB}{\sin (\angle PDB)}$

$\frac{4}{\sin (x)} = \frac{2CP}{\sin (1)}$

$\sin (x) = \frac{4 \sin (1)}{2CP} = \frac{2 \sin (1)}{CP}$

$\frac{\sin(\angle ACB)}{\sin(\angle ABC)}=\frac{\sin 1}{\sin x}$

四角形ADBCは円に内接するので、トレミーの定理が成り立つ。

$AB \cdot CD = AC \cdot BD + AD \cdot BC$

∠DAP = x である。

$\angle ADP + \angle DAB = 180$

$\angle PAD = 180 - 1 - x$

$x = 1$

$PB = 2, CP = 1$

$AP \cdot PB = DP \cdot PC$

$2PB = 4CP$

$PB = 2CP$

$\angle ABC = \angle ADC$

$\angle ACB = \angle ADB$

$∠DCP = 1$

3. 最終的な答え

x = 1