直角三角形ABCがあり、AB = 8cm, BC = 10cm, ∠B = 90°である。点PがAを出発し、毎秒2cmの速さでAB上またはBC上を移動しCに到達する。点PがAを出発してからx秒後の△APCの面積をy cm²とする。 (1) 点Pが辺AB上にあるときのxの変域とyをxの式で表す。 (2) 点Pが辺BC上にあるときのxの変域とyをxの式で表す。 (3) △APCの面積が20cm²になるのは何秒後かすべて求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、AB = 8cm, BC = 10cm, ∠B = 90°である。点PがAを出発し、毎秒2cmの速さでAB上またはBC上を移動しCに到達する。点PがAを出発してからx秒後の△APCの面積をy cm²とする。

(1) 点Pが辺AB上にあるときのxの変域とyをxの式で表す。

(2) 点Pが辺BC上にあるときのxの変域とyをxの式で表す。

(3) △APCの面積が20cm²になるのは何秒後かすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pが辺AB上にあるとき

* xの変域：点PがAからBまで移動する時間である。ABの長さは8cmであり、速さは毎秒2cmなので、 $0 \le x \le 4$

* yをxの式で表す：

* AP = 2x

* △APCの面積yは、三角形ABCの面積から三角形BPCの面積を引いたものである。

* △ABCの面積 = $\frac{1}{2} \times 8 \times 10 = 40$

* BP = 8 - 2x

* △BPCの面積 = $\frac{1}{2} \times (8 - 2x) \times 10 = 5(8 - 2x) = 40 - 10x$

* よって、$y = 40 - (40 - 10x) = 10x$

(2) 点Pが辺BC上にあるとき

* xの変域：点PがBからCまで移動する時間である。BCの長さは10cmであり、速さは毎秒2cmなので、Bに着くのは4秒後、Cに着くのは4+5=9秒後である。よって、$4 \le x \le 9$

* yをxの式で表す：

* BP = 2(x-4) = 2x - 8

* PC = 10 - (2x - 8) = 18 - 2x

* △APCの面積yは、三角形ABCの面積から三角形ABPの面積を引いたものである。

* △ABCの面積 = $\frac{1}{2} \times 8 \times 10 = 40$

* △ABPの面積 = $\frac{1}{2} \times 8 \times (2x - 8) = 4(2x - 8) = 8x - 32$

* よって、$y = 40 - (8x - 32) = 72 - 8x$

(3) △APCの面積が20cm²になるのは何秒後か

* 点PがAB上にあるとき：$y = 10x = 20$。 $x = 2$。 これは $0 \le x \le 4$ を満たすので、解の１つである。

* 点PがBC上にあるとき：$y = 72 - 8x = 20$。 $8x = 52$。 $x = \frac{52}{8} = \frac{13}{2} = 6.5$。 これは $4 \le x \le 9$ を満たすので、解の１つである。

3. 最終的な答え

(1) xの変域：$0 \le x \le 4$, y = 10x

(2) xの変域：$4 \le x \le 9$, y = 72 - 8x

(3) 2秒後と6.5秒後