座標平面上に点 (0, 2) を通り半径が $\sqrt{5}$ である円 C: $x^2 + y^2 - 2ax - 6y + b = 0$ がある。ただし、$a$ は正の定数、$b$ は定数とする。 (1) $a$, $b$ の値をそれぞれ求める。 (2) 直線 $y = -\frac{1}{2}x + 5$ に垂直で、円 C に接する直線は2本ある。このうち、$y$ 軸の正の部分と交わる直線を $m$ とする。直線 $m$ の方程式を求め、直線 $m$ と円 C の接点の座標を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に点 (0, 2) を通り半径が $\sqrt{5}$ である円 C: $x^2 + y^2 - 2ax - 6y + b = 0$ がある。ただし、$a$ は正の定数、$b$ は定数とする。

(1) $a$, $b$ の値をそれぞれ求める。

(2) 直線 $y = -\frac{1}{2}x + 5$ に垂直で、円 C に接する直線は2本ある。このうち、$y$ 軸の正の部分と交わる直線を $m$ とする。直線 $m$ の方程式を求め、直線 $m$ と円 C の接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 C の方程式を平方完成する。

$x^2 - 2ax + y^2 - 6y + b = 0$

$(x - a)^2 - a^2 + (y - 3)^2 - 9 + b = 0$

$(x - a)^2 + (y - 3)^2 = a^2 + 9 - b$

円 C の中心は $(a, 3)$ であり、半径は $\sqrt{a^2 + 9 - b}$ である。半径が $\sqrt{5}$ であるから、

$a^2 + 9 - b = 5$

$a^2 - b = -4$ ... (1)

円 C は点 (0, 2) を通るから、

$0^2 + 2^2 - 2a(0) - 6(2) + b = 0$

$4 - 12 + b = 0$

$b = 8$ ... (2)

(1)に(2)を代入して

$a^2 - 8 = -4$

$a^2 = 4$

$a = \pm 2$

$a$ は正の定数であるから、$a = 2$

したがって、$a = 2, b = 8$

(2) 直線 $y = -\frac{1}{2}x + 5$ に垂直な直線の傾きは 2 である。

よって、直線 $m$ の方程式は $y = 2x + k$ とおける。

円 C の方程式は $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5$ である。

直線 $m$ と円 C が接するので、円 C の中心 $(2, 3)$ と直線 $m$ の距離は半径 $\sqrt{5}$ に等しい。

$|2(2) - 3 + k| / \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$

$|4 - 3 + k| / \sqrt{5} = \sqrt{5}$

$|1 + k| = 5$

$1 + k = \pm 5$

$k = -1 \pm 5$

$k = 4, -6$

直線 $m$ は $y$ 軸の正の部分と交わるので、$k > 0$。したがって、$k = 4$

直線 $m$ の方程式は $y = 2x + 4$

次に、直線 $m$ と円 C の接点を求める。

円 C の中心 $(2, 3)$ を通り直線 $y = 2x + 4$ に垂直な直線の方程式を求める。

傾きは $-\frac{1}{2}$ であり、点 $(2, 3)$ を通るので

$y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 2)$

$y = -\frac{1}{2}x + 1 + 3$

$y = -\frac{1}{2}x + 4$

この直線と直線 $y = 2x + 4$ の交点を求める。

$-\frac{1}{2}x + 4 = 2x + 4$

$-\frac{1}{2}x - 2x = 0$

$-\frac{5}{2}x = 0$

$x = 0$

$y = 2(0) + 4 = 4$

よって、直線 $y = 2x + 4$ と直線 $y = -\frac{1}{2}x + 4$ の交点は $(0, 4)$ である。

直線 $m$ と円 $C$ の接点を $(x_0, y_0)$ とすると、接線の方程式は

$(x_0 - 2)(x - 2) + (y_0 - 3)(y - 3) = 5$

この式と $y = 2x + 4$ が一致するので、円 $C$ と $y = 2x + 4$ の交点を求めれば良い。

$(x - 2)^2 + (2x + 4 - 3)^2 = 5$

$(x - 2)^2 + (2x + 1)^2 = 5$

$x^2 - 4x + 4 + 4x^2 + 4x + 1 = 5$

$5x^2 = 0$

$x = 0$

$y = 2(0) + 4 = 4$

接点は $(0, 4)$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2, b = 8$

(2) 直線 $m$: $y = 2x + 4$

接点の座標: $(0, 4)$