三角形ABCの内部の点Oから各頂点へ引いた直線が、対辺とそれぞれP, Q, Rで交わるとき、以下の式を証明せよ。 (1) $\frac{AR}{RB} = \frac{PC}{BC} \times \frac{AO}{OP}$ (2) $\frac{AQ}{QC} = \frac{BP}{BC} \times \frac{AO}{OP}$ (3) $\frac{AO}{OP} = \frac{AR}{RB} + \frac{AQ}{QC}$

1. 問題の内容

三角形ABCの内部の点Oから各頂点へ引いた直線が、対辺とそれぞれP, Q, Rで交わるとき、以下の式を証明せよ。

(1) $\frac{AR}{RB} = \frac{PC}{BC} \times \frac{AO}{OP}$

(2) $\frac{AQ}{QC} = \frac{BP}{BC} \times \frac{AO}{OP}$

(3) $\frac{AO}{OP} = \frac{AR}{RB} + \frac{AQ}{QC}$

2. 解き方の手順

(1) メネラウスの定理を三角形BCRと直線AOに適用すると、

$\frac{BA}{AR} \times \frac{RO}{OC} \times \frac{CP}{PB} = 1$

$\frac{AR}{BA} = \frac{RO}{OC} \times \frac{CP}{PB}$

また、メネラウスの定理を三角形ABPと直線COに適用すると、

$\frac{BC}{CP} \times \frac{PO}{OA} \times \frac{AR}{RB} = 1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{CP}{BC} \times \frac{OA}{PO}$

よって、$\frac{AR}{RB} = \frac{PC}{BC} \times \frac{AO}{OP}$ が成り立つ。

(2) メネラウスの定理を三角形BCQと直線AOに適用すると、

$\frac{BA}{AQ} \times \frac{QO}{OC} \times \frac{CP}{PB} = 1$

$\frac{AQ}{BA} = \frac{QO}{OC} \times \frac{CP}{PB}$

また、メネラウスの定理を三角形ACPと直線BOに適用すると、

$\frac{CB}{BP} \times \frac{PO}{OA} \times \frac{AQ}{QC} = 1$

$\frac{AQ}{QC} = \frac{BP}{CB} \times \frac{OA}{PO}$

よって、$\frac{AQ}{QC} = \frac{BP}{BC} \times \frac{AO}{OP}$ が成り立つ。

(3) チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \times \frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA} = 1$

(1)と(2)の結果から、$\frac{PC}{BC} = \frac{AR}{RB} \times \frac{OP}{AO}$、$\frac{BP}{BC} = \frac{AQ}{QC} \times \frac{OP}{AO}$

したがって、$PC = BC \times \frac{AR}{RB} \times \frac{OP}{AO}$、$BP = BC \times \frac{AQ}{QC} \times \frac{OP}{AO}$

$BC = BP+PC$なので、$BC = BC \times \frac{AQ}{QC} \times \frac{OP}{AO} + BC \times \frac{AR}{RB} \times \frac{OP}{AO}$

両辺を$BC$で割って、$1 = \frac{AQ}{QC} \times \frac{OP}{AO} + \frac{AR}{RB} \times \frac{OP}{AO}$

$\frac{AO}{OP} = \frac{AR}{RB} + \frac{AQ}{QC}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{AR}{RB} = \frac{PC}{BC} \times \frac{AO}{OP}$ (証明終わり)

(2) $\frac{AQ}{QC} = \frac{BP}{BC} \times \frac{AO}{OP}$ (証明終わり)

(3) $\frac{AO}{OP} = \frac{AR}{RB} + \frac{AQ}{QC}$ (証明終わり)