正八角形について、以下の数を求めます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 2個の頂点を結ぶ線分の本数 (3) 対角線の本数

1. 問題の内容

正八角形について、以下の数を求めます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 2個の頂点を結ぶ線分の本数

(3) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 三角形の個数

正八角形の8個の頂点から3個を選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの公式で計算できます。

組み合わせの公式は $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。

この問題では、$n=8$、$r=3$ なので、

$$8C3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$$

(2) 線分の本数

正八角形の8個の頂点から2個を選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの公式で計算できます。

組み合わせの公式は $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。

この問題では、$n=8$、$r=2$ なので、

$$8C2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 4 \times 7 = 28$$

これは、正八角形の辺と対角線の合計の本数になります。

(3) 対角線の本数

正八角形の対角線の本数は、線分の本数から正八角形の辺の数を引くことで求められます。正八角形の辺の数は8です。したがって、対角線の本数は $28 - 8 = 20$ です。

もしくは、一般の $n$ 角形の対角線の本数は $\frac{n(n-3)}{2}$ で求められます。$n=8$ を代入すると、 $\frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = 20$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 三角形の個数: 56個

(2) 線分の本数: 28本

(3) 対角線の本数: 20本